Question

Desde lo alto de un edificio de 80 m de altura se observa un punto en tierra con un ángulo de depresión de 53°. ¿A qué distancia de la base del edificio se encuentra el punto?

Answer 1

La distancia desde la base del edificio hasta donde se encuentra el punto en el suelo es de 60 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo dado de 37-53 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable

La altura del edificio junto con el suelo donde este se asienta forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del edificio -donde se encuentra el observador avistando un punto en el suelo-, el lado AC (b) que representa la distancia horizontal desde la base del edificio hasta determinado punto en el suelo -ubicado en A- y el lado AC (c) que es la longitud visual desde los ojos del observador -ubicado en lo alto del edificio- hasta dicho punto en el suelo, el cual es visto con un ángulo de depresión de 53°

Donde se pide hallar:

La distancia desde la base del edificio hasta donde se encuentra el punto

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 53° al punto A para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la altura del edificio donde se encuentra el observador y de un ángulo de depresión de 53°

• Altura del edificio = 80 metros

• Ángulo de depresión = 53°

• Debemos hallar a qué distancia desde la base del edificio se encuentra el punto

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto opuesto al ángulo dado -que es la altura del edificio- donde se ubica el observador-, y conocemos un ángulo de depresión de 53° y debemos hallar a qué distancia desde la base del edificio se encuentra el punto en el suelo- el cual es el cateto adyacente al ángulo dado del triángulo rectángulo determinaremos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Razones trigonométricas con ángulos notables

Hallamos la distancia desde la base del edificio hasta donde se encuentra el punto en el suelo

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha =53^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(53^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(53^o) = \frac{ altura \ del \ edificio }{ distancia \ al \ punto } } }$

$\boxed{\bold {distancia \ al \ punto = \frac{ altura \ del \ edificio }{ tan(53^o) } } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 53 grados es } \bold {\frac{ 4 } {3 } }$

$\boxed{\bold { distancia \ al \ punto= \frac{ 80\ m \ }{ \frac{4}{3} } } }$

$\boxed{\bold {distancia \ al \ punto= 80\ m \ \ . \ \frac{3}{4} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ al \ punto= \frac{240 }{4} \ m } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ al \ punto = 60 \ metros } }$

Luego la distancia desde la base del edificio hasta donde se encuentra el punto en el suelo es de 60 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto