Desde lo alto de un edificio de 60 metros con la ayuda de un teodolito se mide un ángulo de 15° sobre la horizontal y una distancia de 4 kilómetros hacia una Iglesia. Luego, se gira el teodolito un ángulo de 120 grados y se mide un ángulo de depresión de 12° hacia una casa, estimándose una distancia de 6 kilómetros. Determinar: a) La distancia entre la casa y la iglesia b) La posición de la casa respecto a la iglesia.
Respuestas a la pregunta
La distancia entre la casa y la iglesia es igual a IDI = 11.56Km
La posición de la casa respecto a la iglesia esta hacia el Nor-Oeste formando un angulo de α = 23.6° con respecto al eje Norte-Sur
Primero debemos definir la dirección relativa entre el teodolito, la Iglesia y la casa:
La iglesia esta hacia la dirección Sur del Teodolito y la casa al Nor-Oeste.
Ubicamos al teodolito en el origen de un sistema cartesiano de tres dimensiones "X", "Y" y "Z".
Definimos las coordenadas de La Iglesia y de la casa:
Iglesia:
(0 i^ + 4Km j^ + 4Km/cos(15°) z^)
(0 i^ + 4Km j^ + 4.14Km z^)
Casa:
( - 6Km*cos(30°) i^ + 6Km*sen(30°) j^ - 6Km/cos(12°) k^)
( - 5.20Km i^ + 3Km j^ - 6.13Km k^)
La distancia entre la casa y la iglesia es el modulo del vector diferencia del vector posición de la Iglesia menos el vector posición de la casa:
Calculamos el vector posición de la casa con respecto a la iglesia:
D = (- 5.20Km - 0) i^ + (3Km - 4Km) j^ + (- 6.13Km- 4.14Km) z^
D = ( - 5.20Km i^ - 1 Km j^ - 10.27Km) z^ )
El modulo de este vector es la distancia entre la casa y la iglesia:
IDI = √ (X² + Y² + Z²)
IDI = √( (- 5.20Km)² + (- 1 Km)² + (- 10.27Km)² )
IDI = √( (27.04Km² + 1 Km² + 105.47Km² )
IDI = 11.56Km
Podemos hallar la proyección del vector IDI en el plano "X-Y" usando el teorema del coseno:
d² = d1² + d2² - 2*d1*d2*cos(120°)
d² = (4Km)² + (6Km)² - (2 * 4Km * 6Km * (-0.5))
d² = 76Km²
d = 8.72Km
Ahora hallamos el angulo que forma el vector posición de la casa con respecto a la iglesia con respecto al eje"Y" negativo, usando el teorema del seno:
d / sen(120°) = d1 / sen(α)
8.72Km / 0.87 = 4Km / sen(α)
sen(α) = 0.40
α = 23.6°