Question

Desde lo alto de un edificio de 300 m de altura se observan dos
personas que están del mismo lado del edificio. ¿Cuál es la distancia entre ellas
dos si sus ángulos de depresión medidos desde la punta del edificio son 42° y
27°, respectivamente?

Answer 1

La distancia entre ambas personas es de 255.60 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos. El triángulo ACD donde el lado CD equivale a la altura del edificio, -donde este cateto es el mismo para ambos triángulos- , el lado AC que representa la distancia desde la base del edificio hasta la persona que se encuentra más alejada de la base del edificio - a la cual llamaremos distancia "x"-, y el lado AD que es la visual a dicha persona con un ángulo de depresión de 27°. Y el triángulo BCD el cual está conformado por el lado CD que equivale a la altura del edificio, el lado CB que es la distancia desde la base del edificio hasta la persona que se encuentra más cerca de la base del edificio, -a la cual llamaremos distancia "y"- y el lado DB que es la visual a esta persona con un ángulo de depresión de 42°

Donde se pide hallar la distancia entre ambas personas

Siendo la distancia "x" la longitud hasta la persona que se ubica en A, la más alejada desde la base del edificio

E "y" la distancia hasta la persona que se ubica en B, la cual se encuentra más cerca de la base del edificio

Halladas las distancias "x" e "y", determinaremos la distancia entre ambas personas restando de la distancia "x" la distancia "y"

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se trasladan los ángulos de 27° y de 42° a los puntos A y B respectivamente para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en el gráfico adjunto

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto opuesto -que es la altura del edificio-  y conocemos los ángulos de depresión de 27° y de 42° y debemos hallar las distancias "x" e "y", - ambos catetos adyacentes- en cada uno de los triángulos rectángulos determinaremos ambas distancias mediante la razón trigonométrica tangente

Hallamos la distancia x en ACD

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(27^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(27^o) = \frac{ altura\ edificio }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ altura\ edificio \ }{ tan(27^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ 300\ metros }{ 0.5095254494 } }}$

$\boxed{\bold { distancia \ x = 588.78315 \ metros } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ x = 588.78 \ metros } }$

La distancia x es de 588.78 metros

Hallamos la distancia y en BCD

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(42^o)= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(42^o) = \frac{ altura\ edificio }{ distancia \ y } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ altura\ edificio \ }{ tan(42^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ 300\ metros }{ 0.9004040442 } }}$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 333.18375 \ metros } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 333.18 \ metros } }$

La distancia y es de 333.18 metros

Hallamos la distancia entre las dos personas

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Personas = distancia \ x -\ distancia \ y } }$

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Personas= 588.78 \ m -\ 333.18 \ m } }$

$\large\boxed{\bold {Distancia \ entre \ Personas = 255.60\ metros } }$

La distancia entre ambas personas es de 255.60 metros