Question

Desde lo alto de un castillo un caballero lanza una flecha horizontalmente a una velocidad de 40m/s. La flecha impacta en el suelo a una distancia horizontal (desde la base del castillo) de 130m. Determina:
a) La altura del castillo.

Answer 1

La altura del castillo es de 52.8125 metros

Se trata de un problema de tiro horizontal

El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical

Al inicio del movimiento el proyectil solo posee una velocidad horizontal $\bold { V_{x} }$ debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que $\bold { V_{y} = 0 }$  , luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende.

Determinamos el tiempo de vuelo del proyectil

Dado que en el eje X se tiene un MRU durante toda la trayectoria y sabemos a que distancia horizontal desde la base o pie del castillo cayó la flecha, por tanto conocemos el alcance máximo o la distancia horizontal recorrida por el proyectil  $\bold{x_{MAX} =130 \ m }$. Donde la velocidad inicial horizontal es de $\bold{V_{ox} = 40 \ \frac{m}{s} }$

$\large\textsf{Luego despejamos el tiempo }$

$\large\boxed {\bold { x_{MAX} = d }}$

$\large\boxed {\bold { d =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { t = \frac{d}{V_{x} } }}$

$\boxed {\bold { t = \frac{130 \not m }{40\not \frac{m}{s} } }}$

$\large\boxed {\bold { t = 3.25 \ segundos}}$

Luego la flecha demora 3.25 segundos en impactar en el suelo

Hallamos la altura del castillo desde donde el caballero lanzó la flecha

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV empleamos la ecuación:

$\large\boxed {\bold { y =H -\frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\bold{y= 0}$

$\large\boxed {\bold { 0 =H -\frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\large\textsf{Donde despejamos la altura }$

$\large\boxed {\bold { H = \frac{ g \ . \ t^{2} }{2} }}$

$\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g=10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\textsf{Y el tiempo de vuelo hallado en el inciso anterior: }\bold{3.25 \ s}$

$\boxed {\bold { H = \frac{ 10 \ \frac{m}{s^{2} } \ . \ (3.25 \ s)^{2} }{2} }}$

$\boxed {\bold { H = \frac{ 10 \ \frac{m}{\not s^{2} } \ . \ 10.5625 \not s^{2} }{2} }}$

$\boxed {\bold { H = \frac{ 10 \ . \ 10.5625 }{2} \ metros }}$

$\boxed {\bold { H = \frac{ 105.625}{2} \ metros }}$

$\large\boxed {\bold { H = 52.8125 \ metros }}$  

La altura del castillo desde donde se lanzó la flecha es de 52.8125 metros

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento