Question

Desde la parte superior de una torre, se observan dos piedras alineadas en el suelo con ángulos de depresión de 37º y 53º. Si la altura de la torre es 36 m ¿Qué distancia están separadas las piedras?

Answer 1

La distancia de separación entre las dos piedras es de 21 metros

Siendo correcta la opción a

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Donde el triángulo dado de 37-53 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El ACD: el cual está conformado por el lado CD que equivale a la altura de la torre, -donde este cateto es el mismo para ambos triángulos- , el lado AC que representa la distancia desde la base de la torre hasta la piedra más lejana, -donde no conocemos esta longitud a la cual llamaremos distancia "x"-, y el lado AD que es la longitud visual desde los ojos del observador -ubicado en lo alto de la torre- hasta una piedra en el suelo, la cual es vista con un ángulo de depresión de 37°

El BCD: el cual está configurado por el lado CD que equivale a la altura de la torre, el lado CB que es la distancia desde la base de la torre hasta la piedra más cercana, -de la que no conocemos su magnitud a la cual llamaremos distancia "y"- y el lado DB que es la longitud visual desde los ojos del observador -ubicado en la parte superior de la torre- hasta la otra piedra en el suelo, la cual es vista con un ángulo de depresión de 53°

Donde se pide hallar la distancia que separa a las dos piedras

Siendo la distancia "x" la longitud hasta la piedra más lejana desde la base de la torre

E "y" la distancia hasta la piedra más cercana de la base de la torre

Halladas las distancias "x" e "y", determinaremos la distancia entre ambas piedras restando de la distancia "x" la distancia "y"

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se trasladan los ángulos de depresión de 37° y de 53° a los puntos A y B respectivamente para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en el gráfico adjunto

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Como sabemos el valor del cateto opuesto a los ángulos dados -que es la altura de la torre- y conocemos los ángulos de depresión de 37° y de 53° y debemos hallar las distancias "x" e "y", - ambos catetos adyacentes- en cada uno de los triángulos rectángulos determinaremos ambas dimensiones mediante la razón trigonométrica tangente de los respectivos ángulos de depresión    

Razones trigonométricas con ángulos notables

En ACD

Hallamos la distancia "x" -distancia hasta la piedra más lejana-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha =37^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(37^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(37^o) = \frac{ altura\ torre }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ altura\ torre }{ tan(37^o) } } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 37 grados es } \bold {\frac{ 3 } {4 } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ 36 \ m \ }{ \frac{3}{4} } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = 36 \ m \ \ . \ \frac{4}{3} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{144 }{3} \ m } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ x = 48 \ metros } }$

Luego la distancia x - hasta la piedra más lejana - es de 48 metros

En BCD

Hallamos la distancia "y" -distancia hasta la piedra más cercana-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo  β $\bold{\beta = 53^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(53^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(53^o) = \frac{ altura\ torre }{ distancia \ y } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ altura\ torre \ }{ tan(53^o) } } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 53 grados es } \bold {\frac{ 4 } {3 } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = \frac{ 36 \ m \ }{ \frac{4}{3} } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 36 \ m \ \ . \ \frac{3}{4} } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{108 }{4} \ m } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 27 \ metros } }$

Por tanto la distancia y - hasta la piedra más cercana - es de 27 metros

Hallamos la distancia entre las dos piedras

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Piedras = distancia \ x -\ distancia \ y } }$

$\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Piedras= 48\ m -\ 27 \ m } }$

$\large\boxed{\bold { Distancia \ entre \ Piedras= 21 \ metros } }$

La distancia de separación entre las dos piedras es de 21 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto    

Nota:  Se completa el enunciado con las opciones para este ejercicio