.- Desde la base de un plano, inclinado un ángulo θ, se dispara un pequeño disco, con la rapidez de 980 m/s.
Si el plano inclinado es muy largo, (a) que ángulo θ debe tener, para que el disco tarde una hora, en subir y
regresar al punto de partida. (b) Que longitud recorre a los largo del plano inclinado, durante la subida.
Respuestas a la pregunta
La aceleración de un plano inclinado sin rozamiento es a = g senθ
La subida es igual que la bajada. Demora media hora = 1800 s en subir y otro tanto en bajar.
Luego la distancia que recorre sobre el plano es:
d = 980 m/s . 1800 s - 1/2 . 9,80 m/s² senθ (1800 s)²
d = 1764000 m - 15876000 m . senθ (1)
Es una función de senθ
Por otro lado podemos hallar la altura vertical que el disco alcanza
Se conserva su energía: 1/2 m V² = m g h
h = (980 m/s)² / (2 . 9,80 m/s²) = 49000 m
La relación que vincula el largo del plano con la altura es h = d senθ
d = h / senθ = 49000 m / senθ
Reemplazamos en (1)
49000 / senθ = 1764000 m - 15876000 m . senθ
Vamos a reducir los números dividiendo por 49000
1 / senθ = 36 - 324 senθ; multiplicamos por senθ:
1 = 36 senθ - 324 sen²θ; ordenamos:
324 sen²θ - 36 senθ + 1 = 0
Ecuación de segundo grado en senθ.
Observamos que es un trinomio cuadrado perfecto.
(18 senθ - 1)² = 0
Resulta una única solución: senθ = 1/18
a) Por lo tanto θ ≅ 3,18°
b) d = h / senθ = 49000 m / (1/18) = 882000 m = 882 km
Saludos.