Question

Desde la azotea de un edificio, situada a 14 metros de altura respecto al piso, se lanza un objeto verticalmente hacia arriba con una rapidez de 20 m/s. La altura del objeto, como función del tiempo, está dado por h(t)= -4.9t²+ 20t + 14 donde h representa la altura, en metros, medida desde el piso y t representa el tiempo, en segundos, que trascurre desde el lanzamiento del objeto. La gráfica de la función h(t) es una parábola que se abre hacia abajo. La coordenada en x del vértice de la parábola indica el tiempo que el objeto toma en alcanzar la altura máxima y la coordenada en y indica la altura máxima.

1. ¿Cuál es la altura del objeto, medida desde el piso, un segundo después de lanzarlo?
2. ¿Cuánto tiempo se demora el objeto en tocar el piso? Sugerencia: calcula el valor de t para que h(t) = 0
3. ¿Cuánto tiempo se demora el objeto en alcanzar la altura máxima?
4. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el objeto, medida desde el piso?

Answer 1

1. La altura del objeto, medida desde el piso, un segundo después de lanzarlo es 29.1m.
2. El tiempo que se demora el objeto en tocar el piso es 4.7s.
3. El tiempo que se demora el objeto en alcanzar la altura máxima es  2.04s.
4. La altura máxima que alcanza el objeto, medida desde el piso es 44.8m.

Lanzamiento vertical de una partícula bajo aceleración de gravedad

El lanzamiento vertical hacia arriba es un tipo de movimiento bajo aceleración constante de la mecánica clásica. Se caracteriza por estar bajo efecto de la gravedad y por medirse en distancias verticales y no horizontales.

Para este caso, tenemos una partícula lanzada hacia arriba a 14m del suelo,  cuya altura está expresada según la función altura respecto al tiempo:

$h(t)=-4.9t^2+20t+14$

Los datos son:

• Rapidez inicial $V_o=20m/s$
• Posición incial $y=14m$
• Posición respecto al tiempo $h(t)=-4.9t^2+20t+14$

Parte 1

La altura del objeto medida desde el piso está expresada como la función que depende del tiempo, si queremos determinarla un segundo después de lanzarlo tenemos que evaluar dicha función en t = 1s.

$h(t)=-4.9t^2+20t+14\\\\h(1)=-4.9(1)^2+20(1)+14\\\\h(1)=29.1$

Por lo tanto, la altura en t = 1s es 29.1m

Parte 2

Si necesitamos hallar cuánto tiempo se demora el objeto en tocar el piso, es necesario tener en cuenta que la variación en la altura es 0. Es decir, la altura final es igual a la inicial.

Por lo tanto, sabemos que la altura respecto al tiempo será 0m:

$h(t)=-4.9t^2+20t+14\\\\0m=-4.9t^2+20t+14$

Para resolver esto, usaremos la fórmula resolvente de ecuaciones de segundo grado:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

Donde $a=-4.9,b=20,c=14$. Introduciremos los valores y simplificamos:

$t_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}\\\\t_{1,2}=\frac{-20\pm \sqrt{20^2-4(-4.9)(14)} }{2(-4.9)}\\\\t_1=4.7s\\t_2=-0.6s$

Ya que no podemos tomar un tiempo negativo, la respuesta es $t_1=4.7s$

Parte 3

El momento en el que el objeto alcanza la altura máxima, pierde por completo su rapidez de subida. Es decir, la rapidez en ese punto es 0m/s.

Dado que la gráfica de la función posición/tiempo es una parábola, el instante en el cual el objeto alcanza la altura máxima es el vértice de dicha parábola. Utilizaremos la fórmula para calcular la primera coordenada de dicho vértice:

$x=-b/2a$

Con los valores del problema:

$t=-\frac{20}{2(-4.9)} \\\\t=2.04s$

Por lo tanto, el objeto se demora 2.04s en alcanzar la altura máxima.

Parte 4

Para saber cuál es la altura máxima que alcanza el objeto medida desde el piso sólo necesitamos usar el t = 2.04s que acabamos de hallar. Introduciremos este valor en la función posición/tiempo del objeto y nos dará la altura máxima:

$h(t)=-4.9t^2+20t+14\\\\h(2.04)=-4.9(2.04)+20(2.04)+14\\\\h(2.04)=44.8m$

Así que la altura máxima que alcanza el objeto, medida desde el piso, es 44.8m.

Para saber más, isita: https://brainly.lat/tarea/9301523

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