Question

Desde la azotea de un edificio, se observa que los ángulos de elevación y depresión a la parte superior e inferior de una torre, son 45 y 30°, respectivamente ¿ si la altura del edificio es de 32 metros ¿ cuál es la altura de la torre ?​

Answer 1

La altura de la torre es de 87.43 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.      

Donde los triángulos de 30-60 y de 45-45 resultan triángulos notables

Dado que desde la azotea de un edificio se observa la parte inferior de una torre con un ángulo de depresión de 30° y la parte superior de la misma con un ángulo de elevación de 45°:

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El ABD: en donde el lado AB representa la línea visual -que está por debajo de los ojos del observador- a la parte inferior de la torre observada-, con un ángulo de depresión de 30°, el lado DB que es una porción de la altura de la torre y a la vez coincide con la altura de la azotea en donde se encuentra el observador , siendo el cateto opuesto al ángulo dado de este triángulo, y por último el lado AD que es la línea horizontal de visión a la torre y también la distancia horizontal hasta esta, en donde este otro cateto -es en este caso el adyacente-, -de la cual no conocemos su magnitud a la que llamamos distancia "x"-, la cual es una preincógnita

El ACD: en donde el lado AC representa la línea visual -que está por encima de los ojos del observador- a la parte superior de la torre-, con un ángulo de elevación de 45°; el lado CD que es el cateto opuesto al ángulo dado en este triángulo y que equivale a la otra porción de la altura de la torre, -de la cual no conocemos su dimensión y la llamamos distancia "y"-;  teniendo finalmente el lado AD el cual es el cateto adyacente al ángulo, y coincide con el cateto adyacente del primer triángulo, siendo la distancia "x" desde la azotea hasta la torre

Donde se pide hallar la altura "h" de la torre

Por tanto se determinará primero la distancia "x" - desde la azotea hasta la torre-, y una vez conocida esa distancia calculamos la distancia "y"

Donde hallada la distancia "y" en el segundo triángulo -siendo el cateto opuesto del mismo:

La sumatoria de los dos catetos opuestos a los ángulos dados de cada uno de los dos triángulos nos dará la altura "h" de la torre

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Se empleará la razón trigonométrica tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos para determinar las distancias "x" e "y"        

Razones trigonométricas con ángulos notables

En ABD

Hallamos x - distancia desde la azotea hasta la torre-

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 30° al punto B para facilitar la situación        

Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha = 30^o}$

$\boxed{\bold { tan(30^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(30^o) = \frac{ altura\ azotea }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ altura\ azotea }{ tan(30^o) } } }$

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 30 grados es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } {3 } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{32 \ m }{ \frac{\sqrt{3} }{3} } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = 32 \ m \ . \ \frac{3}{\sqrt{3} } } }$

$\boxed{\bold { distancia\ x = 32 \ m \ . \ \frac{3}{ \sqrt{3} } \ .\ \frac{ \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } } }$      

$\boxed{\bold { distancia\ x = 32 \ m \ . \ \frac{3 \sqrt{3} }{( \sqrt{3})^{2} } } }$

$\boxed{\bold { distancia\ x = \ 32 \ . \ \frac{\not3 \sqrt{3} }{\not3 } \ m } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ x = 32\sqrt{3} \ metros } }$

La distancia desde la azotea hasta la torre es de 32√3 metros

Conocida la preincógnita x

En ACD

Hallamos y - porción de la altura de la torre-

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β  $\bold{\beta = 45^o }$

Como el triángulo es notable y de 45° los 2 catetos miden lo mismo, pudiendo aseverar que el valor de "y" será igual que la distancia desde la azotea hasta la torre

Los cálculos nos darán la razón

$\boxed{\bold { tan(45^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(45^o)= \frac{ distancia \ y }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = distancia \ x \ . \ tan(45^o) } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 32 \sqrt{3} \ m \ . \ tan(45^o) } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = 32 \sqrt{3} \ m \ . \ 1 } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 32 \sqrt{3} \ metros } }$

La distancia y es de 32√3 metros - siendo una parte de la altura de la torre-

Hallamos la altura h de la torre

$\boxed{\bold { Altura \ Torre\ (h) = altura \ azotea\ +\ distancia \ y } }$

$\boxed{\bold { Altura \ Torre\ (h) = 32 \ m +\ 32\sqrt{3} \ m } }$

$\large\boxed{\bold { Altura \ Torre\ (h) = 87.43 \ metros } }$

La altura de la torre es de 87.43 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del ejercicio propuesto