Question

Desde el techo de un edificio de 6m de altura se observa la parte más alta de una torre, con un angulo de elevación de 45° y la parte más baja con un ángulo de depresión de 37° . Determine la altura de la torre.

Answer 1

La altura de la torre es de 14 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.      

Donde los triángulos dados de 37-53 y de 45-45 resultan ser lo que se denomina triángulo notable

Dado que una persona desde lo alto de un edificio observa la parte inferior de una torre con un ángulo de depresión de 37° y la parte superior de la misma con un ángulo de elevación de 45°:

Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:

El ABD: en donde el lado AB representa la línea visual -que está por debajo de los ojos del observador- a la parte inferior de la torre-, vista con un ángulo de depresión de 37°, el lado DB que es una porción de la altura de la torre y a la vez coincide con la altura del techo del edificio -en donde se encuentra el observador-, siendo el cateto opuesto al ángulo dado de este triángulo, y por último el lado AD que es la línea horizontal de visión a la torre y también la distancia horizontal hasta esta, en donde este otro cateto -es en este caso el adyacente-, -de la cual no conocemos su magnitud a la que llamaremos distancia "x"-, la cual es una preincógnita

El ACD: en donde el lado AC representa la línea visual -que está por encima de los ojos del observador- a la parte superior de la torre-, vista con un ángulo de elevación de 45°; el lado CD que es el cateto opuesto al ángulo dado en este triángulo y que equivale a la otra porción de la altura de la torre, -de la cual no conocemos su dimensión y la llamaremos distancia "y"-; teniendo finalmente el lado AD el cual es el cateto adyacente al ángulo, y coincide con el cateto adyacente del primer triángulo, siendo la distancia "x" desde el techo del edificio hasta la torre

Donde se pide hallar la altura "h" de la torre

Por tanto se determinará primero la distancia "x" -desde el edificio hasta la torre- , y una vez conocida esa distancia podremos calcular la distancia "y"

Donde hallada la distancia "y" en el segundo triángulo -siendo el cateto opuesto del mismo:

La sumatoria de los dos catetos opuestos a los ángulos dados de cada uno de los dos triángulos nos dará la altura "h" de la torre

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Se empleará la razón trigonométrica tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos para determinar las distancias "x" e "y"

Razones trigonométricas con ángulos notables

En ABD:

Hallamos la distancia x - distancia desde el edificio hasta la torre-

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 37° al punto B para facilitar la situación

Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α  $\bold{\alpha = 37^o}$

$\boxed{\bold { tan(37^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(37^o) = \frac{ altura\ edificio }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ altura\ edificio }{ tan(37^o) } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ 6 \ m }{ tan(37^o) } } }$

Como tenemos un ángulo notable

$\large \textsf{El valor exacto de tan de 37 grados es } \bold {\frac{ 3 } {4 } }$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{ 6 \ m }{ \frac{3}{4} } }}$

$\boxed{\bold { distancia \ x = 6 \ m \ . \ \frac{4}{3} }}$

$\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{24}{3} \ m }}$

$\large\boxed{\bold { distancia \ x = 8 \ metros } }$

La distancia desde el edificio hasta la torre es de 8 metros

Conocido el valor de la preincógnita x

En ACD:

Hallamos la distancia y - porción de la altura de la torre -

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β  $\bold{\beta =45^o }$

Como el triángulo es notable y de 45° los 2 catetos miden lo mismo, pudiendo aseverar que la porción de la altura de la torre será igual que la distancia desde el edificio hasta la torre

Los cálculos nos darán la razón

$\boxed{\bold { tan(45^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(45^o)= \frac{ distancia \ y }{ distancia \ x } } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y = distancia \ x \ . \ tan(45^o) } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y =8 \ m \ . \ tan(45^o) } }$

$\boxed{\bold { distancia \ y =8 \ m \ . \ 1 } }$

$\large\boxed{\bold { distancia \ y = 8 \ metros } }$

La distancia y es de 8 metros - siendo una parte de la altura de la torre -

Hallamos la altura h de la torre

$\boxed{\bold { Altura \ de \ la \ Torre\ (h) = altura\ edificio \ +\ distancia \ y } }$

$\boxed{\bold { Altura \ de \ la \ Torre\ (h) = 6 \ m +\ 8 \ m } }$

$\large\boxed{\bold { Altura \ de \ la \ Torre\ (h) = 14 \ metros } }$

La altura de la torre es de 14 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del ejercicio propuesto