Question

Desde el puntoA(−2,−1) se traza la tangente a la circunferencia x^2+y^2−6x−4y−3=0. Si B e sel punto de tangencia, encuentre la longitud del segmento AB.

Answer 1

Primero tenemos que hallar el centro y el radio de la circunferencia. 
recordemos que la ecuacion de la circunferencia esta dada por 

(x -h)² + (y -k)² = r²
donde "(h,k) serán las coordenadas del centro.
como la ecuacion del ejercicio esta dada de la forma
x² + y² -6x -4y -3 = 0 

donde D= -6   E= -4   F= -3
aplicamos la formula 

h = -D / 2           k = -E / 2       remplazamos valores
h = -(-6) / 2        k = -(-4) / 2
h = 6 /2              k = 4 / 2
h = 3                  k = 2

o sea que las coordenadas del centro serán  c = (3, 2)
el radio lo podemos obtener aplicando:

r = √D² + E²  - 4F / 2         remplazamos
r = √(-6)² + (-4)2 - 4(-3) / 2
r = √ 36 + 16 +12 / 2 
r = √64 / 2
r = √32
r = 4

ahora ya tenemos las coordenadas del centro (3, 2) y el valor del radio = 4
ahora podemos trazar la gráfica y analizar. si te fijas con los puntos A, B, C podemos formar un triangulo rectangulo del cual tenemos las coordenadas de los punto  A(-2, -1)   C(3, 2)    B= ?

Con los puntos A Y C podemos hallar la distancia del cateto AC aplicando formula distancia entre dos puntos 
d = √(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²       remplazamos
d = √(3 -(-2))² + (2 -(-1))²
d = √(3 + 2)² + (2 + 1)²
d = √(5)² + (3)²
d = √25 + 9
d = √34
d = 5,83

Con este dato tenemos el valor de dos catetos de nuestro triangulo rectángulo  cateto AC = 5,83   y  cateto BC = 4  ya que corresponde al valor del radio.  para hallar el valor o la distancia de AB y que es la pregunta del ejercicio podemos aplicar pitagoras.

h² = a² + b²                sustituimos valores de acuerdo al ejercicio
AC² = BC² + AB²       remplazamos valores conocidos
5,83² = 4² + AB²        despejamos AB
5,83² - 4² = AB²
33,98 - 16 = AB²
17,98 = AB
√17,98 = AB
4,24 = AB

R/ la longitud del segmento AB es 4,24 anexo grafico
nota: desde un punto exterior a una circunferencia siempre hay dos rectas tangentes que la tocan en dos puntos diferentes, la distancia del punto externo al punto tangencial seran del mismo valor.



 
 

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