Question

desde el punto mas alto de un edificio una persona ve un auto estacionado, lo observa con un angulo de depresión de 55° y sabe que el ángulo está a 30 metros de la base del edificio, ¿cuál es la altura aproximada del edificio?

Answer 1

El edificio tiene una altura aproximada de 42.84 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del edificio -donde se encuentra el observador en su punto más alto avistando el auto estacionado-, el lado AC (b) que representa la distancia desde la base del edificio hasta determinado punto A donde se encuentra el auto estacionado y el lado AB (c) que es la longitud visual desde los ojos del observador ubicado en la cima del edificio hasta el auto con un ángulo de depresión de 55°

Donde se pide hallar:

La altura del edificio

Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 55° al punto A para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la distancia desde la base del edificio hasta el auto estacionado y de un ángulo de depresión de 55°

• Distancia desde la base del edificio hasta el auto = 30 metros

• Ángulo de depresión = 55°

• Debemos hallar la altura del edificio

Hallamos la altura del edificio

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la distancia desde el automóvil hasta la base del edificio- y conocemos un ángulo de depresión de 55° y debemos hallar la altura del edificio, la cual es el cateto opuesto del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { tan(55 ^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } }}$

$\boxed { \bold { tan(55 ^o) = \frac{altura \ del\ edificio }{distancia\ base \ edificio\ al \ auto } }}$

$\boxed { \bold {altura \ del \ edificio= distancia\ base \ edificio\ al \ auto \ . \ tan(55^o) }}$

$\boxed { \bold { altura \ del \ edificio=30 \ metros \ . \ tan(55^o) }}$

$\boxed { \bold { altura \ del \ edificio= 30 \ metros \ . \ 1.428148006742 }}$

$\boxed { \bold { altura \ del \ edificio \approx 42.8444402 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold { altura \ del \ edificio\approx 42.84 \ metros }}$

El edificio tiene una altura aproximada de 42.84 metros