Question

Desde el extremo superior de un faro de 30 m de altura un vigilante divisa un barco con un ángulo de depresión de 35°¿a qué distancia de la base del faro se encuentra el barco?
Hola pueden ayudarme a resolverlo y su proceso

Answer 1

El barco se encuentra aproximadamente a 42.84 metros de la base del faro

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Solución

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del faro donde se halla el vigilante observando el barco, el lado AC (b) que representa la distancia desde el barco hasta la base del faro y el lado AC (c) que es la longitud visual desde el extremo superior del faro donde se encuentra el vigilante observando al barco, con un ángulo de depresión de 35°

Donde se pide hallar:

A que distancia de la base del faro se encuentra el barco

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se traslada el ángulo de 35° al punto A para facilitar la situación

Por ello se ha trazado una proyección horizontal

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la altura del faro y de un ángulo de depresión de 35°

• Altura del faro = 30 metros

• Ángulo de depresión = 35°

• Debemos hallar a que distancia de la base del faro se encuentra el barco

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como conocemos el valor del cateto opuesto (lado BC = altura del faro), asimismo conocemos un ángulo de depresión de 35° y debemos hallar a que distancia de la base del faro se encuentra el barco, relacionamos los datos que tenemos con la tangente del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { tan(35^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } }}$

$\boxed { \bold { tan(35^o) = \frac{altura \ del \ faro }{ distancia \ base \ faro\ a \ barco } }}$

$\boxed { \bold { distancia \ base \ faro\ a \ barco = \frac{ altura \ del \ faro }{ tan(35^o) } }}$

$\boxed { \bold { distancia \ base \ faro\ a \ barco = \frac{30 \ metros }{ tan(35^o) } }}$

$\boxed { \bold { distancia \ base \ faro\ a \ barco = \frac{ 30 \ metros }{ 0.7002075882097} }}$

$\boxed { \bold { distancia \ base \ faro\ a \ barco \approx 42.84443 \ metros}}$

$\large\boxed { \bold { distancia \ base \ faro\ a \ barco \approx 42.84 \ metros}}$

El barco se encuentra aproximadamente a 42.84 metros de la base del faro