Question

Descripción ejercicio 4.


Defina las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas, de las siguientes rectas, y grafíquelas con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab):

a. De la recta que pasa por los puntos P= (-3,4,8) y Q=(2,5,7).

b. De la recta que pasa por el punto R=(-5, 4,-3) y que es paralela a la recta que pasa por los puntos A=(-2,4,6) y B=(1,-3,5).

c. De la recta que pasa por el punto S= (-9, 6,11) y cuyo vector director es V= (-2, 7,-6).

Answer 1

Ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas.

1. El vector director es la diferencia entre el segundo punto(Q) y el primero(P). Nos queda Vd=(2-(-3),5-4,7-8)=(5,1,-1).

• Teniendo este vector tenemos que la ecuacion vectorial sera uno de nuestros puntos mas una constante multiplicada por nuestro vector director: (x,y,z)=(-3,4,8)+k(5,1,-1).
• Las ecuaciones parametricas seran 1)x=-3+5k, 2)y=4+k y 3)z=8-k
• Para las ecuaciones simetricas, despejamos k en cada una y realizamos las igualdades.$\frac{x+3}{5} =y-4=8-z$

2. De igual manera encontramos nuestro vector director restando el segundo punto(B) al primero(A). Vd=(1-(-2),-3-4,5-6)=(3,-7,-1)

• Para hallar la ecuacion vectorial de la recta utilizamos el punto de la recta mas una constante multiplicada por nuestro vector director: (x,y,z)=(-5,4,-3)+k(3,-7,-1)
• Las ecuaciones parametricas nos queda 1)x=-5+3k, 2)y=4-7k y 3)z=-3-k.
• Las ecuaciones parametricas despejando k e igualando nos queda:$\frac{x+5}{3} =\frac{y-4}{-7} =-3-z$.

3. Ya nos dan nuestro vector director. Entonces la ecuacion vectorial es el punto de la recta mas una constante por el vector: (x,y,z)=(-9,6,11)+k(-2,7,-6).

• Las ecuaciones parametricas son x=-9-2k, y=6+7k y z=11-6k.
• Las ecuaciones simetricas son $\frac{x+9}{-2}=\frac{y-6}{7}=\frac{z-11}{-6}$

Ver grafica en geogebra 3D del primer numeral con la recta que une los puntos y la segunda grafica con las ecuaciones simetricas.