Question

Descomponer el vector A=2i-j+4k en dos componentes una en paralela y el otro perpendicular al vector B=3i+5j-2k

Answer 1

Llamemos C al vector perpendicular al vector B. Debe pertenecer además la plano de A y B.

Este vector perpendicular se obtiene mediante un doble producto vectorial:

C = B∧(B∧A), siendo ∧ el símbolo del producto vectorial.

Omito las operaciones intermedias:

B∧A = (3, 5, -2)∧(2, -1, 4) = (18, -16, -13)

C = (3, 5, -2)∧(18, -16, -13) = (-97, 3, -138)

Se puede comprobar que C es perpendicular a B, mediante producto escalar:

(3, 5, -2) . (-97, 3, -138) = 3 .(-97) + 5 .3 + (-2) . (-138) = 0

Entonces el vector A será una combinación lineal entre B y C:

A = x B + y C, siendo x e y dos constantes a determinar.

(2, -1, 4) = x (3, 5, -2) + y (-97, 3, -138)

Planteamos el siguiente sistema:

2 = 3 x - 97 y
-1 = 3 x + 3 y

Sistema lineal cuyas soluciones son: x = -7/38; y = -1/38

Verificamos la tercera coordenada:

4 = (-2) . (-7/38) + (-1/38) . (-138) = 14/38 + 138/38 = 152/38 = 4

Saludos Herminio