Question

Desarrolle dos ejercicios de los tipos de funciones (inyectivas, sobreyectivas y biyectivas) para comprobar lo aprendido.
Si tienen en archivo Word mucho mejor.
Ayudaaa gente X2

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

                 Funciones Biyectivas

Antes, debemos recordar 2 definiciones importantes:

                                 Función inyectiva

Una función "f" es inyectiva si nunca toma el mismo valor 2 veces, es decir:

                f(x₁) ≠  f(x₂)      Siempre que x₁ ≠ x₂

Una definición equivalente, es la siguiente:

Una función f: X⇒Y es inyectiva si para todo x₁,x₂ ∈ X se cumple que:

              Si  f(x₁) = f(x₂)   ⇒  x₁= x₂

Esta es la que usaremos para resolver los ejercicios

                             Función Sobreyectiva

Una función f: X ⇒ Y es inyectiva si, para todo elemento "y" del Codominio, existe por lo menos un elemento "x" del Dominio tal que:

                                         f(x)= y

Entonces una función será biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva

Veamos 2 ejercicios

1) Sea la función f: R⇒R   igual a :   f(x)= x + 1      

Esta tiene como dominio y codomino todos los reales

Veamos si es inyectiva:

Tomando 2 puntos x₁ , x₂ arbitrarios pertenecientes al dominio de la función, si f(x₁)= f(x₂) , entonces

     x₁ + 1 = x₂ + 1

     x₁ = x₂

Como se cumple está igualdad, entonces si es inyectiva

Veamos si es sobreyectiva

Tenemos la función f(x)= x + 1   ,  que es lo mismo que:  y= x + 1

Debemos calcular el rango, para eso:

Despejo para "x"

y - 1 = x

El dominio de x= y -  1 son todos los reales

Es decir llegamos a que el rango de la función es igual al codominio, entonces es sobreyectiva

Esto implica que la función f(x)= x + 1  es biyectiva

2)  Dada la función:   f: R - {-3/7} ⇒ R - {2/7}  definida como:

$f(x)= \frac{2x-7}{7x+3}$

Donde:

Dom(f)= R - {-3/7}

Codominio(f)= R - {2/7}

Vemos si es inyectiva

Dados 2 puntos x₁ , x₂ arbitrarios, elementos del dominio, si f(x₁)= f(x₂) . Entonces

$\frac{2x_{1}-7 }{7x_{1}+3 } = \frac{2x_{2}-7 }{7x_{2}+3 }$

Multiplicamos cruzado:

$(2x_{1} -7)*(7x_{2}+3) = (7x_{1}+3)*(2x_{2}-7)$

$14x_{1} x_{2} +6x_{1} -49x_{2}-21= 14x_{1}x_{2} -49x_{1} +6x_{2} -21$

Cancelamos términos iguales

$6x_{1}-49x_{2} =6x_{2} -49x_{1}$

$55x_{1} =55x_{2}$

$x_{1} =x_{2}$

Si es inyectiva

Ahora nos falta comprobar si es sobreyectiva

Escribimos:  

$y= \frac{2x-7}{7x+3}$

Despejamos "x"

$y*(7x+3)= 2x -7$

$7xy + 3y= 2x - 7$

$7xy-2x=-3y - 7$

$x*(7y-2)= -3y-7$

$x= \frac{-3y-7}{7y-2}$

Calculemos su dominio (o rango), el cual será todos los reales, salvo aquellos que hagan al denominador igual a 0, es decir:

$7y-2\neq 0$

$7y\neq 2$

$y\neq \frac{2}{7}$

Es decir serán todos los Reales menos el 2/7

Como el rango es igual al codominio, la función es sobreyectiva. Lo cual implica que la función también sea Biyectiva

Saludoss