Question

Desarrollar y simplificar al máximo el siguiente ejercicio de números
complejos. Desarrollar finalmente la división.
{[(-5+3i)(-2-4i)] – [-(-6+2i)-(-2-3i)]} / [(-3-4i)(5-3i)+(4-5i)]}

Answer 1

El resultado de la operación con los Números Complejos en formato decimal es – 0,1452 – 0,6662i

Dada la expresión matemática con elementos de los Números Reales (ℝ) y Números Complejos (ℂ) siguiente se pide resolver y simplificar al máximo.

Se debe recordar que la base de los números complejos es la raíz cuadrada de menos uno; que se denota con la letra “i”.

√– 1 = i

{[(– 5 + 3i)( – 2 – 4i)] – [– (– 6 + 2i) – (– 2 – 3i)]}/[(– 3 – 4i)(5 – 3i) + (4 – 5i)]}

Se resuelve primeramente los dos primeros términos.

(– 5 + 3i)( – 2 – 4i) = 10 + 20i – 6i – 12i²

10 + 20i – 6i – 12i² = 10 + 14i – 12i²

Pero:

i² = (√– 1)²  

Entonces:

i² = – 1

10 + 14i – 12 (– 1) = 10 + 14i + 12 = 22 + 14i

Resolviendo la segunda parte del numerador.

[– (– 6 + 2i) – (– 2 – 3i)]

[6 – 2i + 2 + 3i] = 8 + i

Ahora para resolver el Numerador se hace la suma algebraica de 22 + 14i con el resto del numerador.

22 + 14i – (8 + i) = 22 + 14i – 8 – i

El Numerador queda:

14 + 13i

Ahora el Denominador por partes también:

[(– 3 – 4i)(5 – 3i) + (4 – 5i)]

Igualmente se resuelve primero el producto de los dos binomios.

(– 3 – 4i)(5 – 3i) = – 15 + 9i – 20i + 12i²

– 15 – 11i + 12(– 1) = – 15 – 11i – 12 = – 27 – 11i

Ahora se suma con el otro monomio para completar el denominador.

– 27 – 11i + (4 – 5i) = – 27 – 11i + 4 – 5i = – 23 + 16i

El Denominador queda:

– 23 + 16i

Resolviendo la fracción:

14 + 13i/– 23 + 16i

Se multiplican ambos términos por la conjugada del Denominador (– 23 – 16i)

(14 + 13i) x (– 23 – 16i)/(– 23 + 16i) x (– 23 – 16i)

(– 322 – 224i – 299i – 208i²)/(– 23)² + (– 16)²

(– 322 – 523i + 208)/(529 + 256)

(– 114 – 523i)/785

Resultado:

– 114/785 – 523i/785

El equivalente en decimal es:

– 0,1452 – 0,6662i