Question

Desarrollar este limite para obtener el resultado indicado

Answer 1

• Tenemos el siguiente límite que debemos resolver:

$\begin{array}{ccc}&\underset{h\to0}{\lim}~\dfrac{\left|h-1\right|-1}{h}~=~-1&\end{array}$

En si no tenemos que resolver este límite, ya que desde el principio el problema nos da la solución por lo cual tenemos que comprobar que este límite es igual a -1. Para comprobar que este límite si es igual a -1 debemos aplicar unas propiedades sobre el valor absoluto y si resolvemos el límite directamente sobre el otro obtendremos un valor indeterminado (imposible de calcular). En primer lugar, apliquemos la siguiente propiedad que tiene un valor absoluto :

$Propiedad~de~valor~absoluto:~~\boxed{\left|h-1\right|~~=~~\begin{cases}-\left(h-1\right)&,~Si~h<1\\\\ \left(h-1\right)&,~Si~h\geq1\end{cases}}$

Que tenemos que hacer para resolver este limite aplicando esta propiedad de valor absoluto, mientras otros tienen que resolver la siguiente desigualdad h < 1 esta desigualdad termina siendo muy sencilla de resolver ya que obtenemos como resultado h - 1 < 0 por lo que tenemos esta función es menor que 0, por lo que usaremos el primer resultado. Por lo tanto, obtenemos como resultado este nuevo límite:

$\underset{h\to0}{\lim}~\dfrac{\left|h-1\right|-1}{h}\qquad\to\qquad \underset{h\to0}{\lim}~\dfrac{-\left(x-1\right)-1}{h}\\\\\\\underset{h\to0}{\lim}~\dfrac{-h+1-1}{h}\qquad\to\qquad \underset{h\to0}{\lim}~-\dfrac{h}{h} \\\\\\\underset{h\to0}{\lim}~-1\qquad\to\qquad\boxed{\underset{h\to0}{\lim}~\dfrac{\left|h-1\right|-1}{h}~=~-1}$

Como el límite de una constante es la propia constante, podemos concluir que este límite si es igual a -1.