Question

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración
adecuado:

Answer 1

El ejercicio se desarrolla utilizando métodos de  integración para la resolución de la siguiente forma:

$\int \frac{5x-3}{\left(x^2+1\right)\left(x+3\right)}dx=\frac{1}{5}\left(\frac{9}{2}\ln \left|x^2+1\right|-2\arctan \left(x\right)\right)-\frac{9}{5}\ln \left|x+3\right|+C$

Resolución por pasos

$\int \frac{5x-3}{\left(x^2+1\right)\left(x+3\right)}dx$

Tomar fracción parcial de $\frac{5x-3}{\left(x^2+1\right)\left(x+3\right)}:\quad \frac{9x-2}{5\left(x^2+1\right)}-\frac{9}{5\left(x+3\right)}$

$=\int \frac{9x-2}{5\left(x^2+1\right)}-\frac{9}{5\left(x+3\right)}dx$

Aplicar regla de la suma $\int f\left(x\right)\pm g\left(x\right)dx=\int f\left(x\right)dx\pm \int g\left(x\right)dx$

$=\int \frac{9x-2}{5\left(x^2+1\right)}dx-\int \frac{9}{5\left(x+3\right)}dx$

$\int \frac{9x-2}{5\left(x^2+1\right)}dx =\frac{1}{5}\left(\frac{9}{2}\ln \left|x^2+1\right|-2\arctan \left(x\right)\right)$

$\int \frac{9}{5\left(x+3\right)}dx=\frac{9}{5}\ln \left|x+3\right|$

$=\frac{1}{5}\left(\frac{9}{2}\ln \left|x^2+1\right|-2\arctan \left(x\right)\right)-\frac{9}{5}\ln \left|x+3\right|$

Agregar una contaste a la solución

$=\frac{1}{5}\left(\frac{9}{2}\ln \left|x^2+1\right|-2\arctan \left(x\right)\right)-\frac{9}{5}\ln \left|x+3\right|+C$