Question

Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración adecuado:

Answer 1

Solución: la solución a la integral indefinida $\int\ {\frac{x^{2} }{\sqrt{x^{2}-4 } } } \, dx$  es $2*ln(\sqrt{\frac{ x^{2}}{4} -1} +\frac{x}{2} + x* \sqrt{\frac{ x^{2}}{4} -1}+C$

Explicación paso a paso:

Usaremos el método de sustitución trigonométrica:

Hacemos x= 2sec(u)

⇒ u= arcsec(x/2)

⇒du=2sec(u)tan(u)du

Por lo tanto:

$\int\ {\frac{x^{2} }{\sqrt{x^{2}-4 } } } \, dx = \int\   {\frac{4sec^{2}(u)*2sec(u)tan(u) }{\sqrt{4sec^{2}(u)-4 } } } \, du= \int\ {\frac{8sec^{3}(u)*tan(u) }{\sqrt{4sec^{2}(u)-4 } } } \, du$

$\int\ {\frac{8sec^{3}(u)*tan(u) }{\sqrt{4(sec^{2}(u)-1) } } } \, du$

Por propiedad trigonométrica sabemos que:

$sec^{2} (x)-tan^{2} (x)=1$

⇒ $sec^{2} (x)-1=tan^{2} (x)$

Sustituyendo

$=\int\ {\frac{8sec^{3}(u)*tan(u) }{\sqrt{4tan^{2}(u) } } } \, du =\int\ {\frac{8sec^{3}(u)*tan(u) }{2tan(u)  } \, du= \int\ {4sec^{3}(u) \, du$

Usando la ecuación para la integral de potencias de la secante:

$\int\ {sec^{n}(x) } \, dx  = \frac{n-2}{n-1} \int\ {sec^{n-2}(x) } \, dx + \frac{sec^{n-2}(x)tan(x)}{n-1}$

con n=3

$\int\ {sec^{3}(x) } \, dx  = \frac{3-2}{3-1} \int\ {sec^{3-2}(x) } \, dx + \frac{sec^{3-2}(x)tan(x)}{3-1} =$

$= \frac{1}{2} \int\ {sec(x) } \, dx + \frac{sec(x)tan(x)}{2}$

y por integrales de tabla sabemos que:

$\int\ {sec(x) } \, dx= ln(tan(x)+sec(x))$

Por lo tanto

$\int\ {sec^{3}(u) } \, dx= \frac{1}{2}*ln(tan(u)+sec(u)) + \frac{sec(u)tan(u)}{2}$

Sustituyendo:

$\int\ {4sec^{3}(u) \, du = 4*(\frac{1}{2}*ln(tan(u)+sec(u)) + \frac{sec(u)tan(u)}{2})$

= $2*ln(tan(u)+sec(u)) + 2sec(u)tan(u)$

Ahora u= arcsec(x/2)

$2*ln(tan(arcsec(x/2))+sec(arcsec(x/2))) + 2sec(arcsec(x/2))tan(arcsec(x/2))$

= $2*ln(tan(arcsec(x/2))+sec(arcsec(x/2))) + 2sec(arcsec(x/2))tan(arcsec(x/2))+C$

= $2*ln(\sqrt{\frac{ x^{2}}{4} -1} +\frac{x}{2} + x* \sqrt{\frac{ x^{2}}{4} -1}+C$