Desarrolla los siguientes ítems luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a vectores y operaciones con vectores en R2 y R3. Presentar la solución con editor de ecuaciones.
a) Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector:
Fig 1. Representación gráfica de un vector.
(la imagen que adjunto es el vector )
b) Dados los siguientes vectores en forma polar
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Realice analíticamente, las operaciones siguientes:
●
●
c) Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:
● = 2i + 9j y = -6i – 4j
d) Encuentre la distancia entre los puntos:
● (3,-4, 7) ; (3,-4,9)
e) Encuentre el producto cruz u x v y el producto escalar.
● u = -7i + 9j- 8k; v = 9i + 3j -8k
Respuestas a la pregunta
RESPUESTA:
1- El ángulo entre dos vectores viene dada por la siguiente expresión:
Por tanto teniendo los puntos (2,9) y (-6,-4), tenemos:
Cos(α) = -0.72198
α = 136.21º → ángulo entre vectores
NOTA: La formula de ángulo entre dos vectores viene a partir de lo siguiente:
Cos(α) = A·B/|A|·|B| → Producto escalar entre las normas de los vectores
2- Distancia entre los vectores.
d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]
Por tanto, teniendo los puntos (3,-4, 7) y (3,-4,9), procedemos a calcular:
d = √[(3-3)² + (-4+4)² + (9-7)²]
d = 2 u → Distancia entre los puntos
3- Producto escalar y producto vectorial entre u = -7i + 9j- 8k y v = 9i + 3j -8k, tenemos:
u·v = (-7,9,-8)·(9,3-8) = -7(9) + 9·3 + 8·8 = 28 → producto escalar
Producto vectorial, tenemos:
uxv =
uxv = 9(-8) - 3(-8) i + (-7)(-8) - 9(-8) j + (-7)(3) - (9)(9) K
uxv = -48 i + 128 j -120 K → Producto vectorial
Buscamos las componentes en x
|u|=2 ; θ=120°
u_x=2*cos〖120°〗
=2(-1/5)
=-2/5
Buscamos las componentes en y
u_y=2*sen〖120°〗
=2(√3/2)
=(2√3)/2
Resultante
(-2/5,(2√3)/2)
|v|=3 ; θ=60°
Buscamos las componentes en x
v_x=3*cos〖60°〗
=3(1/2)
=3/2
Buscamos las componentes en y
v_y=3*sen〖60°〗
=3(√3/2)
=(3√3)/2
Resultante
(3/2 ,(3√3)/2)
Realice analíticamente, las operaciones siguientes:
(v ) ̅- u ̅
5v ̅-2 u ̅
5(-2/5,(2√3)/2) -2(3/2 ,(3√3)/2)
(-10,25√3)+(6,6√3)
(-10+6,25√3+6√3)
(-4,25; 5,69)
c) Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:
u ̅= 2i + 9j y v ̅= -6i – 4j
Cos (u,v)= ((u,) ̅ v ̅)/(|u ̅ |,| v ̅ | )
((u,) ̅ v ̅ )=(2,9)*(-6-4)
=2(-6)+9(-4)
=12-36
=-48
|u ̅ |=√(2^2+9^(2 ) )= √(4+81)=√85
|v ̅ |=√(〖(-6)〗^2+〖(-4)〗^(2 ) )= √(36+16)=√52
Cos (u,v)= (-48)/(√85,√52)=(-48)/(9,21954*7,21110)= (-48)/66,4=-0,72
cos^(-1)〖(-072)〗=136°
d) Encuentre la distancia entre los puntos:
(3,-4, 7) ; (3,-4,9)
x_1=(3),y_1=(-4),〖 z〗_1=(7)
x_2=(3),y_2=(-4),〖 z〗_2=(9)
d=√(〖〖(x〗_2-x_1)〗^2+〖〖(y〗_2-y_1)〗^2+〖〖(z〗_2-z_1)〗^2 )
d=√(〖(3-3)〗^2+〖(-4-(-4))〗^2+〖(9-7)〗^2 )
d=√(〖(3-3)〗^2+〖(-4-(-4))〗^2+〖(9-7)〗^2 )
d=√(0+0+4)
d=√4
d=2
e) Encuentre el producto cruz u x v y el producto escalar.
u = -7i + 9j- 8k; v = 9i + 3j -8k
□(→┬(u ) ̅ ) x □(→┬(v ) ̅ )=|-■(i&j&k@7&9&8@9&3&8)|
□(→┬(u ) ̅ ) x □(→┬(v ) ̅ )=|■(9&8@3&8)| □(→┬i )-|■(-7&8@9&8)| □(→┬j )+|■(-7&9@9&3)| □(→┬k )
□(→┬(u ) ̅ ) x □(→┬(v ) ̅ )=[(9)*(8)-(8)*(3)] →┬i-[(-7)*(8)-(8)*(9)] □(→┬j )+[(-7)*(3)-(9)*(9)] →┬k
□(→┬(u ) ̅ ) x □(→┬(v ) ̅ )=[72-24] →┬i-[-56-72] □(→┬j )+[-21-81] →┬k
Respuesta:
□(→┬(u ) ̅ ) x □(→┬(v ) ̅ )=48→┬i+128□(→┬j )+102→┬k
□(→┬(u ) ̅ ) x □(→┬(v ) ̅ =) 〈48,128,102〉