Question

Desarrolla correctamente las siguientes ecuaciones exponenciales: ​

Answer 1

Explicación paso a paso:

                                             Resolución:

a)

                                     $2^{2x}-5(2^x)+4=0$

                                    $(2^x)^2-5(2^x)+4=0$

                           Hacemos un cambio de variable donde:

                                            $a=2^x$

                                        Operamos:

                                    $(a)^2-5(a)+4=0$

                                     $a^2-5a+4=0$

                                      Factorizamos:

                                   $(a-4)(a-1)=0$

                                   Sacamos raíces:
                                 $a= 4$             $a=1$

                         Deshacemos el cambio de variable:
                                $2^x=4$            $2^x=1$

                                $2^x=2^2$          $2^x=2^0$

                               $x_1=2$              $x_2=0$

                                          Solución:

                                  $x_1=2$          $x_2=0$

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

b)

                                $4^x-3(2^{x+1})+8=0$

                             $(2^2)^x-3(2^x*2)+8=0$

                             $(2^x)^2-3(2^x*2)+8=0$

                      Hacemos un cambio de variable donde:

                                           $b=2^x$

                                        Operamos:

                                 $(b)^2-3(b*2)+8=0$

                                    $b^2-3(2b)+8=0$

                                      $b^2-6b+8=0$

                                     Factorizamos:

                                   $(b-4)(b-2) =0$

                                   Sacamos raíces

                                  $b=4$           $b=2$

                          Deshacemos el cambio de variable:
                                $2^x=4$               $2^x=2$

                                $2^x=2^2$             $2^x=2^1$

                                $x_1=2$                $x_2=1$

                                         Solución:

                                 $x_1=2$            $x_2=1$

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

c)

                                     $2^{x-1}+\frac{1}{2^{x-3}}=5$

                                  $2^x*2^{-1}+\frac{1}{2^x*2^{-3}}=5$

                            Hacemos un cambio de variable donde:

                                              $c=2^x$

                                        Operamos:

                                   $c*2^{-1}+\frac{1}{c*2^{-3}} =5$

                                       $\frac{c}{2 } +\frac{1}{\frac{c}{2^3} } =5$

                                       $\frac{c}{2} +\frac{2^3}{c} =5$

                                      $\frac{c(c)+2(2^3)}{2c}=5$

                                         $\frac{c^2+2^4}{2c}=5$

                                    $c^2+16=5(2c)$

                                     $c^2+16=10c$

                                  $c^2-10c+16=0$

                                     Factorizamos:              

                                   $(c-8)(c-2)=0$

                                  Sacamos raíces:

                                $c=8$            $c=2$

                           Deshacemos el cambio de variable:

                               $2^x=8$             $2^x=2$

                               $2^x=2^3$            $2^x=2^1$

                               $x_1=3$               $x_2=1$

                                       Solución:

                                $x_1=3$            $x_2=1$

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

d)

                                   $4^x+2^5=3(2^{x+2})$

                                $(2^2)^x+2^5=3(2^x*2^2)$

                               $(2^x)^2+2^5=3(2^x*2^2)$

                         Hacemos un cambio de variable donde:

                                         $d=2^x$

                                       Operamos:

                                  $(d)^2+2^5=3(d*2^2)$

                                    $d^2+32=3(4d)$

                                    $d^2+32=12d$

                                  $d^2-12d+32=0$

                                    Factorizamos:

                                 $(d-8)(d-4)=0$

                                 Sacamos raíces:

                             $d=8$                   $d=4$

                          Deshacemos el cambio de variable:
                                $2^x=8$                 $2^x=4$

                                $2^x=2^3$               $2^x=2^2$

                                $x_1=3$                $x_2=2$

                                       Solución:

                                 $x_1=3$          $x_2=2$