derivada de y=(4x⁵+x)³⁰
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
= (600x⁴ + 30)(4x⁵ + x)²⁹
¿Qué hice?
Aplicamos la fórmula:
\frac{d}{dx}u^{n}=nu^{n-1}\frac{du}{dx}
dx
d
u
n
=nu
n−1
dx
du
Para derivar funciones con exponentes.
Procedimiento por si quieres anotar:
y = (4x⁵ + x)³⁰
y' = 30(4x⁵ + x)²⁹ (20x⁴ + 1)
y' = 30(20x⁴ + 1)(4x⁵ + x)²⁹
y' = (600x⁴ + 30)(4x⁵ + x)²⁹
Demostración de la fórmula:
Tenemos una función exponencial:
y = uⁿ
Si nuestra función recibe un incremento Δx entonces queda como:
y + Δy = (u + Δu)ⁿ
Tenemos un binomio, entonces podemos aplicar el teorema del binomio:
y + Δy = (u + Δu)ⁿ = uⁿ + nuⁿ⁻¹Δu + \frac{n(n-1)}{2}u^{n-2}
2
n(n−1)
u
n−2
(Δu)² + ...
Como queremos tener Δy entonces restamos y, por lo que tenemos:
Δy = nuⁿ⁻¹Δu + \frac{n(n-1)}{2}u^{n-2}
2
n(n−1)
u
n−2
(Δu)² + ...
Ahora queremos la derivada. La definición de derivada es:
lím Δx→0 Δy/Δx = dy/dx
Ahora volvamos a nuestra función. Tenemos Δy, nos falta dividirlo por Δx:
Δy/Δx = [nuⁿ⁻¹ + \frac{n(n-1)}{2}u^{n-2}
2
n(n−1)
u
n−2
Δu + ...]Δu/Δx
¿Por qué los corchetes? Si te das cuenta factoricé.
Al tender Δx a cero, Δu también lo hace, por esto:
\frac{dy}{dx}=nu^{n-1}\frac{du}{dx}
dx
dy
=nu
n−1
dx
du
dy/dx es la derivada, por lo que es válido escribirlo como y' pero dy/dx es una forma elegante de escribir que es la derivada.