Question

derivada de y=(4x⁵+x)³⁰​

Answer 1

Respuesta:

= (600x⁴ + 30)(4x⁵ + x)²⁹

¿Qué hice?

Aplicamos la fórmula:

\frac{d}{dx}u^{n}=nu^{n-1}\frac{du}{dx}

dx

d

u

n

=nu

n−1

dx

du

Para derivar funciones con exponentes.

Procedimiento por si quieres anotar:

y = (4x⁵ + x)³⁰

y' = 30(4x⁵ + x)²⁹ (20x⁴ + 1)

y' = 30(20x⁴ + 1)(4x⁵ + x)²⁹

y' = (600x⁴ + 30)(4x⁵ + x)²⁹

Demostración de la fórmula:

Tenemos una función exponencial:

y = uⁿ

Si nuestra función recibe un incremento Δx entonces queda como:

y + Δy = (u + Δu)ⁿ

Tenemos un binomio, entonces podemos aplicar el teorema del binomio:

y + Δy = (u + Δu)ⁿ = uⁿ + nuⁿ⁻¹Δu + \frac{n(n-1)}{2}u^{n-2}

2

n(n−1)

u

n−2

(Δu)² + ...

Como queremos tener Δy entonces restamos y, por lo que tenemos:

Δy = nuⁿ⁻¹Δu + \frac{n(n-1)}{2}u^{n-2}

2

n(n−1)

u

n−2

(Δu)² + ...

Ahora queremos la derivada. La definición de derivada es:

lím Δx→0 Δy/Δx = dy/dx

Ahora volvamos a nuestra función. Tenemos Δy, nos falta dividirlo por Δx:

Δy/Δx = [nuⁿ⁻¹ + \frac{n(n-1)}{2}u^{n-2}

2

n(n−1)

u

n−2

Δu + ...]Δu/Δx

¿Por qué los corchetes? Si te das cuenta factoricé.

Al tender Δx a cero, Δu también lo hace, por esto:

\frac{dy}{dx}=nu^{n-1}\frac{du}{dx}

dx

dy

=nu

n−1

dx

du

dy/dx es la derivada, por lo que es válido escribirlo como y' pero dy/dx es una forma elegante de escribir que es la derivada.