Question

Derivada de (cos3x+sin3x)/cos3x

Answer 1

primero que todo los argumentos de las razones trigonométricas es el mismo

cos²x+sin²x=1; Identidad fundamental logarítmica

en nuestro caso: cos²3x+sin²3x=1

$tan3x=\frac{sin3x}{cos3x}$

$(tanx)'=sec^{2}x\\(tan3x)'=3sec^{2}3x$

$sec^{2}3x=\frac{1}{cos^{2}{3x}}$

$(\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}$; regla de la división

te la explicaré de dos maneras

1) dividiendo la función arriba y abajo y luego derivando lo que queda

$f(x)=\frac{cos3x+sin3x}{cos3x}=\frac{cos3x}{cos3x}+\frac{sin3x}{cos3x}=1+tan3x\\f'(x)=(1+tan3x)'=0+3sec^{2}3x=3sec^{2}3x$

2) aplicando la regla de la división

$(\frac{cos3x+sin3x}{cos3x})'=\frac{(cos3x+sin3x)'cos3x-(cos3x+sin3x)(cos3x)'}{cos^{2}3x}=$

$\frac{(-3sin3x+3cos3x)cos3x-(cos3x+sin3x)(-3sin3x)}{cos^{2}3x}=\frac{-3sin3xcos3x+3cos^{2}3x+3sin3xcos3x+3sen^{2}3x}{cos^{2}3x}=$

$\frac{3cos^{2}3x+3sin^{2}3x}{cos^{2}3x}=\frac{3(cos^{2}3x+sen^{2}3x)}{cos^{2}3x}=\frac{3}{cos^{2}3x}=3sec^{2}3x$

si te fijas por las dos vías da el mismo resultado

espero te sirva

saludos