Question

Demuestre que si a+b+c=0, donde a≠0 b≠0 c≠0. Entonces se cumple que:
((a-b)/c+(b-c)/a+(c-a) /b)(c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a))=9

PD: en la fórmula el signo " / " es de fracción

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Productos Notables

$\textbf{Problema :}$

Demuestre que si $a+b+c=0$ Donde $a \neq 0\ \ b \neq 0\ \ c \neq 0$ Entonces se cumple.

          $\left( \dfrac{a-b}{c} + \dfrac{b-c}{a} + \dfrac{c-a}{b} \right) \left( \dfrac{c}{a-b} + \dfrac{a}{b-c} + \dfrac{b}{c-a} \right) = 9$

RESOLUCIÓN

Empecemos desarrollando la siguiente expresión aplicando el siguiente artificio.

$\left( \dfrac{a-b}{c} + \dfrac{b-c}{a} + \dfrac{c-a}{b} \right) \dfrac{abc}{abc} \equiv \dfrac{ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)}{abc}$

De manera análoga trabajamos en la siguiente expresión.

$\left( \dfrac{c}{a-b} + \dfrac{a}{b-c} + \dfrac{b}{c-a} \right) \equiv \dfrac{x}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

Tal que $x \equiv c(b-c)(c-a)+a(c-a)(a-b)+b(a-b)(b-c)$

Entonces se pide encontrar

$\dfrac{ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)}{abc} \times \dfrac{x}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

Desarrollando $x$ miembro a miembro.

$c(b-c)(c-a) \equiv (cb-c^{2})(c-a) \equiv c^{2}b-cba-c^{3}+c^{2}a$

$a(c-a)(a-b) \equiv (ac-a^{2})(a-b) \equiv a^{2}c -acb -a^{3} +a^{2}b$

$b(a-b)(b-c) \equiv (ba-b^{2})(b-c) \equiv b^{2}a -bac-b^{3}+b^{2}c$

Sumando todas estas expresiones.

$x \equiv c^{2}b-cba-c^{3}+c^{2}a + a^{2}c -acb -a^{3} +a^{2}b +b^{2}a -bac-b^{3}+b^{2}c$

Acomodando

$x \equiv c^{2}b+c^{2}a + a^{2}c+a^{2}b +b^{2}a+b^{2}c -(a^{3}+b^{3}+c^{3})-3abc$

$x \equiv c^{2}(a+b) + a^{2}(c+b) +b^{2}(a+c) -(a^{3}+b^{3}+c^{3})-3abc$

A partir de aquí aprovecharemos que $a+b+c=0$ de esta condición se deduce una equivalencia notable.

                                        $\boxed{a^{3}+b^{3}+c^{3} \equiv 3abc}$

$x \equiv c^{2}(-c) + a^{2}(-a) +b^{2}(-b) -(3abc)-3abc$

$x \equiv -c^{3} - a^{3} -b^{3} -3abc-3abc \equiv -3abc -3abc -3abc \equiv -9abc$

Se deduce finalmente que si $a+b+c = 0$ entonces $x \equiv -9abc$ y sustituyendo.

$\dfrac{ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)}{abc} \times \dfrac{x}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

$\dfrac{ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)}{abc} \times \dfrac{-9abc}{(a-b)(b-c)(c-a)}$

Quedando

$\boldsymbol{9} \left( \dfrac{ab(b-a) + bc(c-b) + ac(a-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \right)$

Desarrollando la siguiente expresión.

$(a-b)(b-c)(c-a) \equiv (ab-ac-b^{2}+bc)(c-a)$

$(ab-ac-b^{2}+bc)(c-a) \equiv abc -a^{2}b -ac^{2}+a^{2}c -b^{2}c+ab^{2}+bc^{2}-abc$

Acomodando

$-a^{2}b -ac^{2}+a^{2}c -b^{2}c+ab^{2}+bc^{2} \equiv ab^{2} -a^{2}b+bc^{2}-b^{2}c+a^{2}b-c^{2}a$

$ab^{2} -a^{2}b+bc^{2}-b^{2}c+a^{2}c-c^{2}a \equiv ab(b-a) + bc(c-b) + ac(a-c)$

Finalmente se deduce que

$(a-b)(b-c)(c-a) \equiv ab(b-a) + bc(c-b) + ac(a-c)$

Sustituyendo en la expresión principal

$\boldsymbol{9} \left( \dfrac{ab(b-a) + bc(c-b) + ac(a-c)}{ab(b-a) + bc(c-b) + ac(a-c)} \right)$

De esta última expresión se concluye que es equivalente a $9$.

RESPUESTA

$\boxed{ \textrm{La expresi\'on es equivalente a 9}}$