Question

Demuestre que la siguiente igualdad es una identidad trigonométrica. (1+cos(x))/(sen(x))+sen(x)/(1+cos(x) )=2csc⁡(x)

Answer 1

¡Holaaa!

Demostrar la siguiente identidad trigonométrica.

$\: \: \: \: \: \frac{1 + \cos(x) }{ \sin(x) } + \frac{ \sin(x) }{1 + \cos(x) } = 2 \csc(x)$

Realizaremos la demostración por el lado izquierdo de la igualdad. Entonces, efectuamos la suma de fracciones.

$\: \: \: \: \: \frac{(1 + \cos(x) ) {}^{2} + \sin {}^{2} (x) }{ \sin(x)(1 + \cos(x) ) } = 2 \csc(x)$

Efectuamos el binomio al cuadrado, y aplicamos la 'Identidad Pitagórica Fundamental' en el Sin²(x); presentes en el numerador.

$\: \: \: \: \: \frac{1 + 2 \cos(x) + \cos {}^{2} (x) + 1 - \cos {}^{2} (x) }{ \sin(x)(1 + \cos(x) ) } = 2 \csc(x)$

Simplificamos términos semejantes en el numerador.

$\: \: \: \: \: \frac{2 + 2 \cos(x) }{ \sin(x)(1 + \cos(x) ) } = 2 \csc(x)$

Extraemos factor común '2', en el numerador.

$\: \: \: \: \: \frac{2(1 + \cos(x)) }{ \sin(x)(1 + \cos(x) ) } = 2 \csc(x)$

Simplificamos términos similares.

$\: \: \: \: \: \frac{2}{ \sin(x)} = 2 \csc(x) \\ 2 \times \frac{1}{ \sin(x)} = 2 \csc(x)$

Aplicamos una de las 'Identidades Básicas' (Sin(x) × Csc(x) = 1).

$\: \: \: \: \: 2 \csc(x) = 2 \csc(x)$

Espero que te sirva, Saludos.