Question

Demuestre que la integral diverge o converge.


$\mathsf{\displaystyle\int_{1}^{\infty}cos(x)dx}$


Exijo una explicación muy detallada, gracias de antemano.​

Answer 1

¡Hola!

Demuestre que la integral diverge o converge.

$\mathsf{\displaystyle\int_{1}^{\infty}cos(x)dx}$

solución:

*  vamos a resolver $\int \cos \left(x\right)dx$

Por la regla de la integración

$\int \:\cos \left(x\right)dx=\sin \left(x\right)$

En integrales indefinidas, añadimos una constante (C), veamos:

$\int \:\cos \left(x\right)dx=\boxed{\sin \left(x\right)+C}$

* ahora, vamos a resolver el límite $\int _1^{\infty \:}\cos \left(x\right)dx$

Aplicamos la siguiente regla de la propiedad de los límites

$\int _a^bf\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)=\lim _{x\to \:b-}\left(F\left(x\right)\right)-\lim _{x\to \:a+}\left(F\left(x\right)\right)$

- En $\lim _{x\to \:1+}\left(\sin \left(x\right)\right)$ , tenemos:

El límite de una función continua en un punto es sólo su valor allí

$\lim _{x\to \:1+}\left(\sin \left(x\right)\right) = \boxed{\sin \left(1\right)}$

Entonces, tenemos:

$\boxed{\boxed{\lim _{x\to \infty \:}\left(\sin \left(x\right)\right)=\mathrm{Diverge}}}\:\:\:\:\:\:\bf\blue{\checkmark}$

Observación:  

Si el límite para la integral inapropiada fuera un número real, el mismo sería convergente, pero como el límite no existe o no es finito (sin 1), decimos que la integral inapropiada diverge

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$\bf\blue{I\:Hope\:this\:helps,\:greetings ...\:Dexteright02!}\:\:\ddot{\smile}$