Question

Demuestre que la gráfica de una ecuación de la forma Ax2 + Dx + Ey + F = 0; donde A ≠ 0 a) Es una parábola si E ≠ 0 b) Es una línea vertical si E = 0 y D2 – 4AF = 0

Answer 1

Primero la ecuación de una parábola es de la forma:

$y=ax^{2}+bx+c$

A) como E≠0 entonces:

$Ax^{2}+Dx+Ey+F=0\\\\Ax^{2}+Dx+F=-Ey\\\\Ey=-(Ax^{2}+Dx+F)\\\\y=-\frac{A}{E}x^{2}-\frac{D}{E}x-\frac{F}{E}$

La cual es la ecuación de una parábola.

Ahora, la ecuación de una linea vertical es de la forma x=a, con a una constante.

B) Como E=0, Entonces:

$Ax^{2}+Dx+E(0)+F=0\\\\Ax^{2}+Dx+F=0$

Entonces, aplicamos la formula general a $Ax^{2}+Dx+F=0$:

$Ax^{2}+Dx+F=0\\\\x=\frac{-D\pm\sqrt{D^{2}-4AF}}{2A}$

Luego $D^{2}-4AF=0$ (si te das cuenta es el discriminate, osea la parte de adentro de la raiz cuando utilizas la formula general para las ecuaciones de segundo grado.) Entonces:

$x=-\frac{D}{2A}$

Listo, es la ecuacion de una linea vertical

Cualquier duda en los comentarios.