Question

Demuestre que el predecesor del cuadrado de un numero impar siempre es divisible entre 4.

Answer 1

El cuadrado de todo número impar sigue la expresión $4(n^2+n)$, donde n es un número entero, por lo que dicho cuadrado siempre es precedido por un múltiplo de 4.

Explicación paso a paso:

Todo número impar puede ser representado mediante la expresión 2n+1, donde 'n' es un número entero cualquiera. Por lo que, el cuadrado de un número impar queda:

$h^2=(2n+1)^2$

Si en esa expresión desarrollamos el cuadrado del binomio queda:

$h^2=(2n)^2+2.2n.1+1^2=4n^2+4n+1$

El predecesor del cuadrado del número impar h será $h^2-1$, por lo que si en esta expresión restamos 1 en ambos miembros queda:

$h^2-1=4n^2+4n=4(n^2+n)$

El segundo miembro es siempre múltiplo de 4 porque n es un número entero. Entonces, todo cuadrado de un número impar será siempre precedido por un múltiplo de 4.