Question

Demuestre que el conjunto de todas las ternas de la forma: (a1, 0, a3) definen un espacio vectorial

Answer 1

Todas las ternas que tienen la forma propuesta definen un espacio vectorial, que en efecto es el plano y=0.

Explicación paso a paso:

Para comprobar que las ternas de la forma (a1,0,a3), donde a1 y a3 son dos números reales cualesquiera definen un espacio vectorial, vamos a verificar las propiedades que siguen los espacios vectoriales:

Ley cerrada de la suma: La combinación lineal de dos o más elementos del espacio vectorial pertenece al espacio vectorial: $(a_1,0,a_3) \in E \wedge (b_1,0,b_3) \in E=> (a_1,0,a_3)+(b_1,0,b_3)=(a_1+b_1,0,a_3+b_3) \in E$

Vemos que la propiedad la cumple.

Propiedad conmutativa de la suma: El orden de los sumandos no altera la suma cuando se suman elementos de E:

$(a_1,0,a_3) \in E \wedge (b_1,0,b_3) \in E=> \\(a_1,0,a_3)+(b_1,0,b_3)=(b_1,0,b_3)+(a_1,0,a_3)\\(a_1+b_1,0,a_3+b_3)=(b_1+a_1,0,b_3+a_3)\\a_n, b_n \in \Re =>a_1+b_1=b_1+a_1 \wedge a_3+b_3=b_3+a_3$

Propiedad asociativa de la suma:

$(a_1,0,a_3) \in E \wedge (b_1,0,b_3) \in E\wedge (c_1,0,c_3) \in E=> \\(a_1,0,a_3)+[(b_1,0,b_3)+(c_1,0,c_3)]=[(a_1,0,a_3)+(b_1,0,b_3)]+(c_1,0,c_3)\\(a_1,0,a_3)+(b_1+c_1,0,b_3+c_3)=(a_1+b_1,0,a_3+b_3)+(c_1,0,c_3)\\\\(a_1+b_1+c_1,0,a_3+b_3+c_3)=(a_1+b_1+c_3,0,a_3+b_3+c_3)$

Existencia de un elemento neutro en el espacio vectorial:

$(a_1,0,a_3)+N=(a_1,0,a_3)\\a_1+N_x=a_1\\0+N_y=0\\a_3+N_z=a_3=>\\\\N=(0,0,0)\in E$

Cada elemento tiene un opuesto que pertenece al espacio:

$(a_1,0,a_3)+(-v)=N\\a_1+(-v)_x=0\\0+(-v)_y=0\\a_3+(-v)_z=0=>\\\\-v=(-a_1,0,-a_3)\in E$

El producto de un vector de E por un escalar cualquiera pertenece a E:

$\alpha(a_1,0,a_3)=(\alpha.a_1,0,\alpha.a_3) \in E$

Propiedad distributiva respecto del producto por un escalar:

$\alpha[(a_1,0,a_3)+(b_1,0,b_3)]=(\alpha(a_1+b_1),0,\alpha(a_3+b_3))\\=(\alpha.a_1+\alpha.b_1,0,\alpha.a_3+\alpha.b_3)\\=\alpha(a_1,0,a_3)+\alpha(b_1,0,b_3)$

Propiedad distributiva respecto de la suma de escalares:

$(\alpha+\beta)(a_1,0,a_3)=((\alpha+\beta)a_1,0,(\alpha+\beta)a_3)\\=(\alpha.a_1+\beta.a_1,0,\alpha.a_3+\beta.a_3)\\=\alpha(a_1,0,a_3)+\beta(a_1,0,a_3)$

Propiedad asociativa respecto del producto de escalares:

$\alpha(\beta(a_1,0,a_3))=\alpha(\beta.a_1,0,\beta.a_3)=(\alpha\beta.a_1,0,\alpha\beta.a_3)\\=\alpha\beta(a_1,0,a_3)$

El escalar 1 es elemento neutro del producto:

$1(a_1,0,a_3)=(1.a_1,0,1.a_3)=(a_1,0,a_3)$

Como vemos verifica todos los axiomas, por lo que define un espacio vectorial real.