Question

Demuestre que el conjunto de números reales positivos forma un espacio vectorial bajo las operaciones x+y=xy y ax=xª​

Answer 1

Respuesta:

Para probar que $\mathbb{R}^+$ es un espacio vectorial, basta probar que (1) Existe elemento neutro, (2) la suma es cerrada y (3) el producto por escalares es cerrado.

En el caso de (1) el elemento neutro es el número 1, ya que para todo $x\in \mathbb{R}^+$, $1x=x1=x$ y $1\in \mathbb{R}^+$.

Para (2) es sencillo, ya que el producto de dos reales positivos, es de nuevo un real positivo.

Por último, consideremos tres casos para (3).

(a) cuando $a$ es positivo

(b) cuando $a$ es cero y

(c) cuando $a$ es negativo. ($a\in \mathbb{R}$)

(a)  $x^a=\underbrace{xxx\cdots x}_{a- \text{veces}} \in \mathbb{R}^+$

(b)  $x^0=1\in \mathbb{R}^+$

(c) $x^a=\frac{1}{\underbrace{xxx\cdots x}_{a-\text{veces}}}\in \mathbb{R}^+$

Por lo tanto, el producto por escalares también es cerrado. Terminando nuestra demostración.