Question

Demuestre la siguiente proposición:
El cuadro de un numero natural disminuido en 1 es solamente un numero primo cuando el numero es 2

Answer 1

La idea que se me ocurre es la siguiente:

sea "n" un número natural:

tenemos que:

$n^{2} -1$

nunca es primo para todo "n" mayor a 2.

para la demostración nos daremos cuenta de la "característica" que tomarán los números que se obtienen cuando reemplazamos con un número natural:

sabemos que cuando n=2

$n^{2}-1=2^{2}-1=3$

es un número primo, pues es tiene como divisor solo el 3 y 1

veamos qué pasa con los números del 3 al 10

$n^{2}-1=\\=8\\=15\\=24\\=35\\=48\\=63\\=80\\=99$

estos son los números que se obtienen cuando reemplazas "n" del 3 al 10

si te das cuenta los números se alternan entre aquellos que son múltiplos de 2 y 3 respectivamente, si sigues reemplazando los valores de"n" hasta donde puedas, verás que los números tienen el mismo comportamiento, concretando te diré que los números siempre tienen al menos 1 divisor diferente de ellos mismos y el uno pudiendo ser el 2 o el 3.

para demostrarlo de manera matemáticamente formal, se tendría que demostrar que los números que se obtienen siempre tienen como divisor al 2 o al 3, pero para TODOS los números naturales,(la idea que te presento lo formaliza para los primeros 10) pero eso requiere de un trabajo muy complejo.

esa es la idea de cómo podríamos aseverar la proposición, espero que te sirva.