Question

Demuestra que los vectores u = (1, 1) y v = (1, -1) forman una base y, a continuación, expresa el vector t = (4, 0) como combinación lineal de u y v

Answer 1

Solución: Los vectores en efecto son base y la combinación lineal de t es: 2(1,1) + 2(1,-1) = (4,0)

Explicación paso a paso:

Una base de un conjunto de elementos, es un subconjunto de elementos, tal que el resto de los elementos se puede escribir como combinación linea de los elementos de la base.

Un conjunto de vectores son linealmente independiente si ninguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los otros.

En el caso de $R^{n}$ si un conjunto de n vectores son linealmente independientes entonces son base de $R^{n}$

Tenemos los vectores u,v veamos si son linealmente independientes:

λ(1,1) + β(1,-1) = (0,0)

Si son linealmente independientes entonces λ y β deben ser cero

1. λ+β = 0

2. λ-β = 0 ⇒λ=β

Sustituyendo la ecuación 2 en la 1:

3. λ+λ = 0⇒ 2λ=0⇒ λ=0

Como λ = β entonces β= 0 son linealmente independiente los vectores y por lo tanto son base.

Expresarlos como combinación lineal de t:

λ(1,1) + β(1,-1) = (4,0)

1. λ+β = 4

2. λ-β = 0 ⇒λ=β

Sustituyendo en 1:

λ+λ= 4 ⇒ 2λ=4 ⇒ λ=2

Como λ = β entonces β= 2, La combinación lineal es:

2(1,1) + 2(1,-1) = (4,0)