Question

demuestra que en cualquier conjunto de cinco enteros siempre Existen tres cuya suma es múltiplo de 3

Answer 1

Notemos que los números del conjunto sólo pueden ser de tres formas:

$3k\\3k+1\\3k+2$

Veamos entonces dos casos:

Que haya tres números dentro del conjunto con la forma $3k+n$, con distintos $k$ pero iguales $n$

Su suma sería:

$(3k_1+n)+(3k_2+n)+(3k_3+n)$

$3k_1+3k_2+3k_3+n+n+n$

$3(k_1+k_2+k_3)+3n$

$3(k_1+k_2+k_3+n)$

Es decir que pudo ser escrito con un factor "3" de por medio, es decir, si existen tres elementos del conjunto con igual "forma", entonces su suma es múltiplo de 3

Ahora veamos el segundo caso, que haya tres elementos con las tres distintas formas dentro del conjunto:

$(3k_1)+(3k_2+1)+(3k_3+2)$

$3k_1+3k_2+3k_3+1+2$

$3(k_1+k_2+k_3)+3$

$3(k_1+k_2+k_3+1)$

Nuevamente pudimos escribir la suma con un factor "3" de por medio.
En conclusión, sin importar cuáles sean los números del conjunto, siempre se podrán seleccionar tres tal que su suma sea múltiplo de 3.

Answer 2

Supongamos un conjunto de numeros enteros:
W = {a, b, c, d, e}. Piensa detenidamente. El dividir un numero para 3 siempre dara un residuo entero cualquiera, que lo llamare x, tal que 0 ≤ x < 3, quiero decir, que esta entre cero y es menor que 3. El resultado de dividir un numero entre 3 es un entero cualquiera q. entonces dividimos cualquier trio de numeroa a, b, c para 3 y nos queda:
a/3 = q + x/3
b/3 = q' + x/3
c/3 = q'' + x/3
(no se cual es el resultado q, q', q'', pero se que el residuo x esta entre 0 y es menor que 3).
Ahora expresaremos los numeros a, b, c como multiplos de 3, asi:
a = 3q + x
b = 3q' + x
c = 3q'' + x
con a, b y c expresados asi, procedemos a sumarlos:
a + b + c = 3q + x + 3q' + x + 3q'' + x 
a + b + c = 3(q + q' + q'') + 3x

a + b + c = 3(q + q' + q'' + x), que es un multiplo de 3.
si divides el resultado de esa suma para 3, es decir, el numero
3(q + q' + q'' + x), que es un valor numerico entero, el resultado sera un numero N entero y su residuo R es igual a cero.
(3(q + q' + q'' + x))/3 = (q + q' + q'' + x) + 0
El hecho de que su residuo sea 0, lo hace multiplo de 3.