Demuestra las siguientes igualdades a partir de la definición de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo que se muestra en la figura
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Explicación paso a paso:
seno = cat.opuesto/hipotenusa
coseno = cat.adyacente/hipotenusa
tangente = cat.opuesto/cat.adyacente
cotangente = cat.adyacente/cat.opuesto
cosecante = hipotenusa/cat.opuesto
secante = hipotenusa/cat.adyacente
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en la figura:
cateto opuesto = y
cateto adyacente = x
hipotenusa = z
sen α = y/z
cos α = x/z
tan α = y/x
cot α = x/y
csc α = z/y
sec α = z/x
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teorema de pitagoras
(hipotenusa)² = (cat. opuesto)² + ( cat. adyacente)²
z² = y² + x²
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demostramos
a) tanα = senα/cosα
y/x = y/z / x/z
resolvemos
y/x = y.z/ x.z
simplificamos z
y/x = y/x
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b) cot α = cos α/sen α
x/y = x/z/ y/z
resolvemos
x/y = x.z/ y.z
simplificamos z
x/y = x/y
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c) sec α = 1/cos α
z/x = 1 / x/z
resolvemos
z/x = 1/1 / x/z
z/x = 1.z / 1.x
simplificamos
z/x = z/x
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d)sen α = 1 / cscα
y/z = 1/ z/y
resolvemos
y/z = 1/1 / z/y
y/z = 1.y /1.z
simplificamos
y/z = y/z
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e) sen²α + cos²α = 1
(y/z)² + (x/z)² = 1
resolvemos
y²/z² + x²/z² = 1
(x² + y²) / z² = 1
por el teorema de pitagoras
z² = x² + y²
reemplazamos
z² / z² = 1
1 = 1
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f) sec²α = 1 + tan²α
(z/x)² = 1 + (y/x)²
resolvemos
z²/x² = 1 + y²/x²
z²/x² = (x² + y²)/x²
por pitagoras
z² = x² + y²
reemplazamos
z²/x² = z²/x²
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g) 1 + cot²α = csc²α
1 + (x/y)² = (z/y)²
resolvemos
1 + x²/y² = z²/y²
(y² + x²)/y² = z²/y²
por pitagoras
z² = x² + y²
reemplazamos
z²/y² = z²/y²
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h) cot α = 1/ tan α
x/y = 1 / y/x
x/y = 1/1 / y/x
x/y = 1.x / 1.y
simplificamos
x/y = x/y