Question

Demuestra Las Siguientes Identidades. Doy 30 Puntos ​

Answer 1

Para resolver las siguientes identidades trigonométricas haremos uso de las equivalencias de las funciones recíprocas y las identidades trigonométricas conocidas.

a) $sen(\theta).cot(\theta)=cos(\theta)$

Para la cotangente tenemos:

$cot(\theta)=\frac{1}{tg(\theta)}=\frac{cos(\theta)}{sen(\theta)}$

Reemplazando queda.

$sen(\theta).\frac{cos(\theta)}{sen(\theta)}=cos(\theta)\\\\cos(\theta)=cos(\theta)$

Con lo que queda demostrada la identidad.

b) la identidad es:

$sen(\theta)(tan(\theta)+cosec(\theta))=\frac{sen(\theta)+cos(\theta)}{cos(\theta)}\\\\sen(\theta)(\frac{sen(\theta)}{cos(\theta)}+\frac{1}{sen(\theta)})$

Distribuimos en el paréntesis y queda;

$sen(\theta)(\frac{sen(\theta)}{cos(\theta)}+\frac{1}{sen(\theta)})=\frac{sen^{2}(\theta)}{cos(\theta)}+1=\frac{sen^2(\theta)+cos(\theta)}{cos(\theta)}$

La identidad da ese valor, con lo cual la identidad planteada no se cumple.

c) La identidad es:

$tan(\theta)+cot(\theta)=sec(\theta)+cosec(\theta)$

Desglosando la tangente y la cotangente queda:

$\frac{sen(\theta)}{cos(\theta)}+\frac{cos(\theta)}{sen(\theta)}=\frac{sen^2(\theta)+cos^2(\theta)}{cos(\theta).sen(\theta)}$

Ahora teniendo en cuenta la identidad pitagórica.

$\frac{sen^2(\theta)+cos^2(\theta)}{cos(\theta).sen(\theta)}=\frac{1}{cos(\theta).sen(\theta)}=sec(\theta).cosec(\theta)$

El desarrollo ya no se puede continuar con lo cual la identidad planteada no se cumple.

d) La identidad es:

$sen(\theta)(1+cot^2(\theta))=cosec(\theta)$

Desglosando el primer miembro queda:

$sen(\theta)(1+cot^2(\theta))=sen(\theta)(\frac{cos^2(\theta)}{sen^2(\theta)}+1)\\\\sen(\theta)(1+cot^2(\theta))=sen(\theta)\frac{cos^2(\theta)+sen^2(\theta)}{sen^2(\theta)}$

Si tenemos en cuenta la identidad pitagórica:

$sen^2(\theta)+cos^2(\theta)=1\\\\sen(\theta)\frac{cos^2(\theta)+sen^2(\theta)}{sen^2(\theta)}=sen(\theta)\frac{1}{sen^2(\theta)}=\frac{1}{sen(\theta)}=cosec(\theta)$

Con lo cual la identidad queda demostrada.