Demostrar utilizando el PBO que no existen enteros entre 0 y 1
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Entre 0 y 1 no hay ningún número natural.
Demostración: Supongamos que existe un número x∈ N tal que 0 < x <1. Entonces el conjunto { } x∈ N : 0 < x <1 es no vacío y por el PBO este conjunto tiene un elemento mínimo.
Sea m tal elemento, entonces 0 < m <1. Como en particular es 0 < m se tiene, multiplicando la desigualdad anterior por m, que < m < m 2 0 . Siendo m∈N, se tiene que ∈ N 2 m y que 0 1 2 < m < m < , contradiciendo que m es mínimo.
La utilización del PBO para probar propiedades sobre N siempre sigue el mismo lineamiento, se supone, por el absurdo, que la propiedad P es falsa para algún natural y se define A = { } n : P( ) n es falso . Luego se aplica el PBO obteniendo un elemento mínimo m y se procede a llegar a un absurdo a partir de ello (generalmente construyendo un elemento más chico que m tal que P es falso allí).