Question

Demostrar utilizando el método de Inducción Matemática la validez de las siguientes
proposiciones:

Answer 1

Explicación paso a paso:

Sea P={n ∈ ℕ : (2)(4)...(2ⁿ)=2^ n(n+1)/2}

1.P ≠ ∅

$2 = {2}^{ \frac{1(1 + 1)}{2} }$

1 ∈ P

Hipótesis de inducción si m ≤ n

$2(4)....(2ᵐ) = {2}^{ \frac{m(m + 1)}{2} }$

Para m=n

${2}^{ \frac{n(n + 1)}{2} } = {2}^{ \frac{(n - 1)n}{2} + n} = {2}^{ \frac{(n - 1)n}{2} } ( {2}^{n} ) \\ \\ = 2(4)....( {2}^{n - 1} )( {2}^{n} )$

∴ como P ≠ ∅ y n-1 ∈ P => n ∈ P y por el axioma de inducción matemática la proposición es válida para todo n ∈ ℕ