Question

Demostrar: sec^2(θ) - csc^2(θ) = tan(θ) - cot(θ) / sen(θ) x cos(θ)

Answer 1

Hola :),

Del lado derecho vamos a intentar llegar a la igualdad sec^2 θ - csc^2 θ , vamos a dejar todo en senos y cosenos, antes debes saber unas identidades basicas,

tg x = sen x / cos x
cotg x = 1/tg x = cosx/senx

luego de eso, comencemos :) :

$= \frac{tan(\theta) - cot(\theta)}{sen(\theta) \cdot cos (\theta)} \\ \\ =\frac{ \frac{sen(\theta)}{cos(\theta)} - \frac{cos(\theta)}{sen(\theta)} }{sen(\theta) \cdot cos (\theta)} \\ \\ =\frac{ \frac{sen^{2}(\theta) - cos^{2}(\theta)}{sen(\theta) \cdot cos (\theta)} }{sen(\theta) \cdot cos (\theta)} \\ \\ = \frac{sen^{2}(\theta) - cos^{2}(\theta)}{sen^{2}(\theta) \cdot cos^{2} (\theta)} }$

Ahora separemos la fracción y veamos que pasa :o  : 


$\frac{sen^{2}(\theta) - cos^{2}(\theta)}{sen^{2}(\theta) \cdot cos^{2} (\theta)} } \\ \\= \frac{sen^{2}(\theta)}{sen^{2}(\theta) \cdot cos^{2}(\theta)} - \frac{cos^{2}(\theta)}{sen^{2}(\theta) \cdot cos^{2}(\theta)}$

Simplificando : 

$\frac{sen^{2}(\theta)}{sen^{2}(\theta) \cdot cos^{2}(\theta)} - \frac{cos^{2}(\theta)}{sen^{2}(\theta) \cdot cos^{2}(\theta)} \\ \\ = \frac{1}{cos^{2}(\theta)} - \frac{1}{sen^{2}(\theta)}$

Eso es equivalente a:

$sec^{2}(\theta) - csc^{2}(\theta)$

Entonces se cumple la identidad :

$\boxed{sec^{2}(\theta) - csc^{2}(\theta) = \frac{tan(\theta) - cot(\theta)}{sen(\theta) \cdot cos(\theta)} }$

Salu2 :).