Question

Demostrar que una tienda de campaña de forma cónica de capacidad dada, exigira las menor cantidad de lona cuando la altura es (raiz cuadrada de 2) veces el radio de la base. Demostrar tambien que si se extiende la lona en un plano se obtiene un sector circular de 207°51'. ¿Cuánta lona se necesitaria para una tienda de 3m de alto? Necesito el procedimiento, el resultado debe de ser 24.5m²

Answer 1

Vamos a combinar las fórmulas de cálculo de volumen y área lateral de un cono circular recto y las de área de un sector circular.

Explicación paso a paso:  

En la figura anexa se observa la tienda de campaña, de lona, en forma de cono circular recto de radio de base (r), altura (h) y longitud del lado (g) en metros. Además se presenta la lona abierta con ángulo de abertura del arco α.

1.- Demostrar que una tienda de campaña de forma cónica de capacidad dada, exigirá las menor cantidad de lona cuando la altura es (raiz cuadrada de 2) veces el radio de la base.  

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.  

La función objetivo es el área lateral del cono abierto:

$\bold{A~=~\pi rg}$

Lo conveniente es que el área este expresada solo en función del radio, por lo que usaremos el teorema de Pitágoras y el volumen conocido (ecuación auxiliar) para expresar  A  en función de  r:

$g^{2}~=~ r^{2}~+~h^{2}\quad\Rightarrow\quad g~=~\sqrt{ r^{2}~+~h^{2}}$

$V=\frac{\pi r^{2}h}{3}\quad\Rightarrow\quad h~=~\frac{3V}{\pi r^{2}}$

de aqui  

$g~=~\sqrt{ r^{2}~+~[\frac{3V}{\pi r^{2}}]^{2}}$

por tanto la función objetivo es

$\bold{A~=~\pi r\sqrt{ r^{2}~+~[\frac{3V}{\pi r^{2}}]^{2}}~=~\frac{\sqrt{ \pi^{2} r^{6}~+~9V^{2}}}{r}}$

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.  

$A'~=~\frac{2\pi^{2} r^{6}~-~9V^{2}}{r^{2}\sqrt{ \pi^{2} r^{6}~+~9V^{2}}}$

$A'~=~0\quad\Rightarrow\quad 2\pi^{2} r^{6}~-~9V^{2}~=~0\quad\Rightarrow$

$(\sqrt{2}\pi r^{3}~+~3V) (\sqrt{2}\pi r^{3}~-~3V)~=~0\quad\Rightarrow$

$3V~=~\sqrt{2} \pi r^{3}\qquad y \qquad r~=~\sqrt[3]{\frac{3V}{\sqrt{2} \pi}}$

Este es el punto crítico o posible extremo de la función.  

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.  

$A''_{(\sqrt[3]{\frac{3V}{\sqrt{2} \pi}})}~>~0\qquad\Rightarrow$

$r~=~\sqrt[3]{\frac{3V}{\sqrt{2} \pi}}}$

Es un mínimo de la función A.  

Tercero, hallamos el valor de h sustituyendo el valor de 3V en la expresión correspondiente

$\bold{h~=~\frac{\sqrt{2} \pi r^{3}}{\pi r^{2}}~=~\sqrt{2}~ r~~m}$

L.Q.Q.D

2.- Demostrar también que si se extiende la lona en un plano se obtiene un sector circular de 207°51'.  

El área del sector circular viene dada por:

$\bold{A~=~\pi rg}$

Y también se puede expresar como:

$\bold{A~=~\frac{\alpha~g^{2}}{2}}$

Por lo tanto:

$\pi rg~=~\frac{\alpha~g^{2}}{2}\quad\Rightarrow\quad \alpha~=~\frac{2\pi r}{g}$

Sabemos que:

$g^{2}~=~r^{2}~+~h^{2}\qquad y \qquad h~=~\sqrt{2}r$

Entonces:

$g^{2}~=~r^{2}~+~(\sqrt{2}r)^{2}\quad \Rightarrow \quad g^{2}~=~3r^{2}\quad \Rightarrow \quad g~=~\sqrt{3}r$

De esta forma podemos hallar el ángulo del sector circular:

$\alpha~=~\frac{2\pi r}{g}~=~\frac{2\pi r}{\sqrt{3}r }~=~ \frac{2\pi}{\sqrt{3}}~~radianes$

Llevando a grados:

$\alpha~=~\frac{180^{o}}{\pi}\frac{2\pi}{\sqrt{3}}~=~207.85^{o}~=~207^{o}51^{'}$

L.Q.Q.D

3.- ¿Cuánta lona se necesitaría para una tienda de  3 m  de alto? Necesito el procedimiento, el resultado debe de ser  24.5 m²

Si  h  =  3  m, se puede calcular el valor de  r  y de A con las expresiones correspondientes:

$r~=~\frac{3}{\sqrt{2}}$

$\bold{A~=~\pi (\frac{3}{\sqrt{2}})(\sqrt{3}(frac{3}{\sqrt{2}})~=~24.5~~m^{2}}$

Answer 2

Respuesta:

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