Matemáticas, pregunta formulada por albarosa037pccab8, hace 1 año

Demostrar que si la raíz n-ésima de un número natural A no es un número entero, entonces es un número irracional.

Respuestas a la pregunta

Contestado por mateorinaldi

Se demuestra por el absurdo. Si no es un número entero, supongo que es un número racional.

Supongamos que la raíz enésima de A es un número racional a/b, donde a y b es no tienen factores comunes.

Raíz n de A = a/b; elevamos a la enésima potencia.

A = (a/b)^n, entonces:

a^n = A b^n

Con esta relación se deduce que a^n es un múltiplo de b^n, porque A es un número natural, distinto de cero.

Estamos contradiciendo el supuesto que a y b no tienen factores comunes.

Si una fracción no tiene factores comunes, cualquier potencia de ellas tampoco.

Ejemplo: 2/3 no tienen factores comunes: elevamos al cubo: 8/27 tampoco tienen factores comunes.

Mateo

albarosa037pccab8: Mas bien, sea A = (a1, a2, ... , ak) el conjunto de factores primos de a.

albarosa037pccab8: Y sea B = (b1, b2, ... , bm), el conjunto de factores primos de b.

albarosa037pccab8: Entonces, los factores primos de a^n, son (a1, a1, ... , a1), (a2, a2, ..., a2), ... , (ak, ak, ..., ak), donde en cada grupo los factores se repiten n veces. De este modo, por ser los mismos factores de A repetidos, el conjunto de factores primos de a^n, es C = (a1,a2, ...,ak) = A.

albarosa037pccab8: Y los factores primos de b^n, son (b1, b1, ..., b1), (b2,b2,...,b2), ... , (bm,bm, ..., bm), donde en cada grupo los factores se repiten n veces. De este modo, por ser los mismos factores de B repetidos, el conjunto de factores primos de b^n, es D = (b1, b2, ... , bm) = B.

albarosa037pccab8: Entonces, C∩D = ∅. Por tanto, a^n y b^n no tienen factores primos comunes. Y la fracción (a)^n/(b)^n es irreducible.

albarosa037pccab8: Así, (a)^n/(b)^n ≠ k, donde k es un número natural. En particular, se tiene que (a)^n/(b)^n ≠ A. Hemos llegado a una contradicción. Por esto, la suposición inicial es falsa. Y así la raíz enésima de A es un número irracional.

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