Question

Demostrar que los puntos A=(1,-3,2); B= (1,2,-1); C= (0,3,1) y D= (0,-2,4) son los vertices de un paralelogramo y hallar su area.

Answer 1

Solución: es un paralelogramo del tipo rectángulo con un área de $A=3\sqrt{3} U^{2}$

Explicación paso a paso:

Un paralelogramo es una figura geométrica de 4 lados donde cada uno de sus lados tiene la misma longitud de su opuesto.

Verifiquemos que es un paralelogramo, para esto calculamos cada una de las distancia entre los puntos, donde la distancia entre dos puestos es A(x1,y1, z1) y B(x2,y2,z2) es:

$d(A,B)= \sqrt{(x1-x2)^{2}+(y1-y2)^{2}+(z1-z2)^{2}}$

Calculamos cada una de las distancias

• $d(A,B)= \sqrt{(1-1)^{2}+(-3-2)^{2}+(2+1)^{2}}$

$d(A,B)= \sqrt{25+9} = \sqrt{36}$

$d(A,B)=6$

• $d(B,C)= \sqrt{(1-0)^{2}+(2-3)^{2}+(-1-1)^{2}}$

$d(B,C)= \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$

$d(B,C)=\sqrt{6}$

• $d(C,D)= \sqrt{(0-0)^{2}+(3+2)^{2}+(1-4)^{2}}$

$d(C,D)= \sqrt{25+9} = \sqrt{36}$

$d(C,D)=6$

• $d(D,A)= \sqrt{(0-1)^{2}+(-2+3)^{2}+(4-2)^{2}}$

$d(D,A)= \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$

$d(D,A)=\sqrt{6}$

Por lo tanto hemos demostrada que es un paralelogramo ya que cada lado es igual a su opuesto, pues AB = CD y BC = DA

Para calcular del área un paralelogramo de lados con base b y altura "h" usamos la ecuación:

$A= (b*h)/2$

Si graficamos los puntos datos (observar la imagen) vemos que se trata de un rectángulo, es decir, el angulo entre cada par de lados adyacentes es 90° por lo tanto la altura es  $d(D,A)=\sqrt{6}$ y la base  tex]d(A,B)=6[/tex] el área del paralelogramo es:

$A= (6*\sqrt{6})/2= 3\sqrt{3} U^{2}$