Question

Demostrar que la suma de dos números racionales es un irracional

Answer 1

Demostrar que la suma de dos números racionales es un irracional:  La suma de dos números racionales es racional. Veámoslo: se define al conjunto Q de los racionales como Q={ a/b, con a, b € Z y b>0}. Nota: con "€" denoto perenece y con "Z" al conjunto de los enteros. La suma de dos números racionales, sean a/b y c/d, se define como: 

a/b + c/d = (ad + bc)/bd 

Entonces, para demostrar que la suma pertenece a los racionales,
tenemos que ver que: 

a) ad + bc pertenece a los enteros 
b) bd pertenece a los enteros y es mayor que 0 
Demostremos: 

a) ad € Z, pues a, b € Z y el conjunto de los enteros es cerrado para el producto. bc € Z por la misma razón. Y ad + bc € Z porque el conjunto de los enteros es cerrado para la suma. 

b) bd € Z porque b,d € Z y el conjunto de los enteros es cerrado para el producto. Y finalmente, bd>0 porque b>0 y d>0 (ver definición del conjunto Q de los racionales). 

Suerte!