Question

Demostrar que la recta (x-2)/6=(3y+1)/(-6)=(1-z)/3 y el plano 2x-3y+6z+3=0 son paralelos

Answer 1

Hemos de tener en cuenta que el vector asociado a un plano es siempre normal al mismo, con lo que si una recta es paralela a un plano, su vector director (paralelo a esta) será perpendicular al vector asociado al plano. El vector asociado a un plano es el que se forma con los coeficientes de su expresión:

$v_p=(2,-3,6)$

La recta está en la forma de su ecuación continua, en este caso el vector director es el que se forma con los denominadores de cada término:

$v_d=(6,-2,-3)$

Si hay algún coeficiente multiplicando a la variable, hay que dividir al denominador de ese término por el coeficiente en cuestión,  y tenía un coeficiente 3 y z estaba multiplicada por -1

Ahora para comprobar si los vectores director de la recta y asociado al plano son perpendiculares evaluamos el producto escalar entre ellos, si son perpendiculares este da 0.

$v_p.v_d=(2,-3,6).(6,-2,-3)=2.6+(-3)(-2)+6(-3)=12+6-18=0$

Con esto hemos demostrado que la recta es paralela al plano.