Question

Demostrar que la funcion g: [1/2,∞] -> R definida por la regla de correspondencia:
g(x)= x2 - x + 1, es estrictamente creciente

Answer 1

$\displaystyle g(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\\ \\ \text{Sea }x_1\in \left[\frac{1}{2},+\infty\right] \text{ y } x_2\in \left[\frac{1}{2},+\infty\right]\text{ , donde }x_2\ \textgreater \ x_1\text{ entonces: }\\ \\ x_2-\frac{1}{2}\ \textgreater \ x_1-\frac{1}{2} \ \textgreater \ 0\\ \\ \left(x_2-\frac{1}{2}\right)^2\ \textgreater \ \left(x_1-\frac{1}{2}\right)^2\\ \\ \left(x_2-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ \textgreater \ \left(x_1-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\\ \\ \boxed{g(x_2)\ \textgreater \ g(x_1)}$

$\displaystyle \text{Con lo cual se prueba que la funci\'on }g \text{ es creciente en }\left[\frac{1}{2},+\infty\right]$