Question

demostrar que el limite (3x - 5)= 1 cuando x tiende a 2

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

               Limite de una función

Repasemos su definición formal:

"Llamemos "f" a una función que esta definida sobre algún intervalo abierto que contiene a un numero "a" (Excepto en "a" misma). Entonces decimos que:"

            $\lim_{x \to a}f(x)= L$

Si ∀ ε > 0 , va a existir un δ > o tal que:

Si 0 < ║x -a ║ < δ    entonces   ║f(x) - L ║ < ε

Veamos como se resuelve el ejercicio

                        Demostración

   $\lim_{x \to 2} (3x-5)=1$

Sea ε > 0, vamos a buscar un δ > 0 de modo que:

Si  0 < ║x - 2║ < δ  entonces    0 < ║(3x - 5) - 1║ < ε

Busquemos dicho delta "δ", para eso escribimos un "borrador" que nos ayudará a encontrarlo  

Borrador:

Partimos de la siguiente expresión

║(3x - 5) - 1║ < ε

║3x - 5 - 1 ║ < ε

║3x - 6 ║ < ε

║3×(x-2)║ < ε

Aplicamos una propiedad del valor absoluto, que nos enuncia lo siguiente:

"El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores"

                      ║a × b ║= ║a║ × ║b║

Nos queda:

║3║ × ║x-2║ < ε

3×  ║x -2║ < ε

║x - 2║ < ε/ 3

Por lo tanto ya hemos encontrado dicho delta

δ= ε/3

Volviendo a la demostración

Usamos que:   δ= ε/3

Ya que si 0 < ║x - 2║ < ε/3 entonces se cumplirá que:

3×║x-2║ < ε

║3║ × ║x-2║ < ε

║3(x - 2)║ < ε

║3x - 6 ║ < ε

║(3x-5) - 1║ < ε    

Y ya habremos probado el limite

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Saludoss