Question

demostrar que : B+(B-B/n)+(B-2B/n)+...+(B-(n-1)B/n)=((n+1)/2) B

Answer 1

Para demostrar dicha relación, primero debemos saber dos hechos muy importantes que nos ayudarán mucho

$\sum_{k=1}^{n}{ca_k} = c\sum_{k=1}^{n}{a_k}\\\\\sum_{k=1}^{n}{k} = \frac{n(n+1)}{2}$

Sabiendo esto, debemos simplemente re-ordenar la serie de manera que se pueda representar utilizando los resultados anteriores

$B + (B -   \frac{1}{n}B) + (B - \frac{2}{n}B) + ... + (B - \frac{n-1}{n}B) =\\\\( B + B + B + ... +B) -(\frac{1}{n}B + \frac{2}{n}B + ... + \frac{n-1}{n}B) = \\\\\sum_{k=1}^{n}{B} - \sum_{k=1}^{n-1}{ k \frac{B}{n}} = Bn - \frac{B}{n}\sum_{k=1}^{n}{k} = Bn - \frac{B}{n}\frac{(n-1)(n-1 + 1)}{2} =\\\\Bn - \frac{B(n-1)}{2} = \frac{2Bn - Bn + B}{2} = \frac{n+1}{2}B$

Que es el resultado al que se quería llegar