Question

Demostrar que : 4y^2-9x^2-16y-18x-29=0 representa una hipérbola y determine: Centro
Focos
Vértices

Answer 1

Una hipérbola sigue la forma:

$\frac{ (x-h)^{2} }{a^{2}} - \frac{ (y-k)^{2} }{b^{2}}=1$
Para una hipérbola que abre hacia los lados, si b > a 

$\frac{ (y-k)^{2} }{b^{2}} - \frac{ (x-h)^{2} }{a^{2}}=1$
Para una hipérbola que abre hacia arriba, si a > b 

Tenemos la ecuación:

4y² - 9x² - 16y - 18x  - 29 = 0, agruparemos para realizar una completación de cuadrados

- 9x² - 18x + 4y² - 16y - 29 = 0

Para completar cuadrados se requiere que el término cuadrático sea lineal, es decir igual a 

-9(x² + 2x) + 4(y² - 4y) - 29 = 0

-9(x² + 2x + 1 - 1) + 4(y² - 4y + 4 - 4) - 29 = 0

-9(x + 1)² + 9 + 4(y - 2)² - 16 - 29 = 0

-9(x + 1)² + 4(y - 2)² - 36 = 0

-9(x + 1)² + 4(y - 2)² = 36

-9(x + 1)²/36 + 4(y - 2)²/36 = 36

Dividimos entre 36

$-\frac{ (x+1)^{2} }{4} - \frac{ (y-2)^{2} }{9}=1$

$-\frac{ (x+1)^{2} }{2^{2}} - \frac{ (y-2)^{2} }{3^{2}}=1$

Con: a = 2 y b = 3

CENTRO: (-1,2) → (h, k)

FOCOS: F₁(-1, 2 - √13)    y    F₂(-1, 2 + √13)

Se cumple que c² = a² + b²
c = √4 + 9 = √13

El foco 1 es: (h, k - c) → (-1 , 2 - √13)
El foco 2 es: (h, k + c) → (-1 , 2 + √13)

VÉRTICES: V₁(-1,-1)        y    V₂(-1,5)

Para los vértices se cumple que:

Vértice 1: (h, k + b) → (-1, 2 + 3) = (-1, 5)
Vértice 2: (h, k - b) → (-1, 2 - 3) = (-1, -1)