Question

Demostrar que :4x^2+9y^2-16x+18y-11=0 es la ecuación de una elipse y determine:

A. Centro

B. Focos

C. Vértices



Doy buen puntaje ;)

Answer 1

La ecuación de una elipse viene dada de la siguiente manera:

$\frac{ (x-h)^{2} }{ b^{2}} + \frac{ (y-k)^{2} }{ a^{2}} = 1$

Donde:

Centro= (h,k)

Vertices: V1(h,k-a) v2(h,k+a)

sea c=a-b

Focos: F1( h,k-c) F2(h,k+c)

Transformemos la ecuación que tenemos a una ecuacion con la forma inicial:

$4x^2+9y^2-16x+18y-11=0$

- Despejando y agrupando

$(4x^2-16x)+(9y^2+18y)=11$

- Sacando Factor común:

$4*(x^2-4x)+9*(y^2+2y)=11$

- Completamos cuadrados:

$4*(x^2-4x+2-2)+9*(y^2+2y+1-1)=11$

- Reagrupando usando propiedad distributiva y asociativa:

$4*(x^2-4x+2)-(4*2)+9*(y^2+2y+1)-9*1=11$

- Despejamos:

$4*(x^2-4x+2)+9*(y^2+2y+1)=11+8+9$

- Agrupamos nuevamente de manera conveniente y usamos producto notable:

$\frac{ (x-2)^{2} }{1/4} + \frac{(y+1)^{2} }{1/9} =28$

- Dividimos ambos lado entre 28

$\frac{ (x-2)^{2} }{28/4} + \frac{(y+1)^{2} }{28/9} =1$

$\frac{ (x-2)^{2} }{7} + \frac{(y+1)^{2} }{28/9} =1$

$\frac{ (x-2)^{2} }{ ( \sqrt{7})^{2} } + \frac{(y+1)^{2} }{ ( \sqrt{28/9} )^{2} } =1$

Centro: C(2,-1)

Vértices: V1(2,1-$\sqrt{7}$) V2(2,1+$\sqrt{7}$)
 
Focos: 
c= $\sqrt{7}- \sqrt{28/9}$

Focos: F1( h,k-c) F2(h,k+c)

F1(2,1-$\sqrt{7}- \sqrt{28/9}$)

F2(2,1+$\sqrt{7}- \sqrt{28/9}$)