Question

demostrar por inducción
que n^3+5n es múltiplo de 6
ayuda por favor.​

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

            Principio de inducción

Sea P(n) una proposición de todos los n∈ N tal que

• P(1) es verdadera

• Para todo k ∈ N, si P(k) es verdadera, esto implica que P(k+1) es verdadera

Por lo tanto P(n) es verdadera para todo n ∈ N

Este principio nos sirve para demostrar cualquier proposición de los números naturales,  veamos en el ejercicio

El punto 1 se llama caso base

El punto 2 se llama hipótesis inductiva, y en caso de ser verdadera, implica la tesis inductiva, que es lo que debemos demostrar

Vamos al ejercicio

n³ +5n es múltiplo de 6

Caso base: n=1

Reemplazamos "n" por 1

$1^{3} +5(1)$

$6$

Como 6 es múltiplo de si mismo, entonces es valido

Hipótesis inductiva: Supongamos que se cumple para un n= k

$k^{3} +5k$    Es verdadero

Debemos demostrar lo siguiente

Tesis inductiva: ¿Se cumplirá para n= k + 1 ?

$(k+1)^{3} +5(k+1)$

Para demostrar esto, nos basaremos en la hipótesis inductiva

Resolvemos el cubo de un binomio

$k^{3} +3k^{2} +3k+1+5k+5$

$k^{3} +3k^{2}+3k+6+5k$

Podemos agrupar lo siguiente

$(k^{3} +5k)+3k^{2} +3k+6$

Lo que esta entre paréntesis en nuestra hipótesis inductiva, lo cual como sabemos es verdadera (porque estamos suponiendo que lo es)

Podemos factorizar el 3

$(k^{3} +5k) +3(k^{2} +k)+6$

Tenemos 3(k² +k), lo cual es múltiplo de 6, porque si por ej: reemplazamos k por 1, nos da un resultado, y si lo multiplicamos por 3, nos da un numero múltiplo de 6, y así sucesivamente

Tenemos 2 expresiones que son múltiplo de 6, y si le sumamos 6, lo seguirá siendo

Lo cual queda demostrado

Saludoss