Question

demostrar por inducción matemática


ayuda!!!! o me muero :(

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Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

Tenemos la proposición:

$3^{2n}+7$ es divisible por 8     ∀n ≥ 1

Para demostrar esta proposición por inducción partimos de la base inductiva

Debemos primero probar si para n= 1 la proposición es divisible por 8

n= 1

$3^{2*1} +7$

$3^{2} +7$

$9+7= 16$   Si es divisible por 8

Y así podemos probar para otro valor de "n", ej para n= 2

$3^{2*2} +7$

$3^{4} +7$

$81+7= 88$    Si es divisible por 8

Ahora por hipótesis inductiva, supongamos que si se cumple para el primer valor de "n" (para 1), entonces se debería cumplir para un valor mas alejado, es decir para un "k" determinado

n= k

$3^{2k} +7$ es divisible por 8

Esto es solo una suposición, ahora debemos demostrar que, si se cumple para un valor "k", entonces también se cumplirá para el siguiente de ese valor (k+1)

Tesis inductiva:  n= k + 1

$3^{2(k+1)} +7$

Aplicando propiedad distributiva en los exponentes

$3^{2k+2} +7$

Por propiedades de la potenciacion:

$a^{n} *a^{m} =a^{n+m}$  (vale en sentido inverso)

$3^{2k} *3^{2} +7$

$3^{2k} *9+7$

Ahora, estrategicamente vamos a expresar a "9" como una suma:  (8+1)

$3^{2k} *(8+1)+7$

Por propiedad distributiva

$(8*3^{2k}+1*3^{2k} )+7$

$(8*3^{2k} +3^{2k} )+7$

Por propiedad asociativa, puedo agrupar:

$(8*3^{2k} )+(3^{2k} +7)$

                      ⬇️

         Hemos llegado a nuestra hipótesis inductiva, nosotros hemos supuesto que era verdadero, con lo queremos decir que esa expresión es divisible por 8

Tenemos ademas un $8*3^{2k}$, esto quiere decir un "numero multiplicado por 8), cualquier numero que sea multiplicado por 8 es divisible por 8, ej:

12, si lo multiplicamos por 8 da 96, y este es divisible por 8

Finalmente tenemos que:

$8(3^{2k}) + (3^{2k} +7)$  Es divisible por 8

Hemos demostrado la proposición

Saludoss